O que é um espaço de Hilbert? + Exemplo

O espaço de Hilbert é um conjunto de elementos com certas propriedades, a saber:

é um espaço vetorial (assim, há operações em seus elementos típicos para vetores, como multiplicação por um número real e adição que satisfazem leis comutativas e associativas);

existe um produto escalar (às vezes chamado de interno ou ponto) entre quaisquer dois elementos que resulta em um número real.

Por exemplo, nosso espaço euclidiano tridimensional é um exemplo de um espaço de Hilbert com um produto escalar de # x = (x_1, x_2, x_3) # e # y = (y_1, y_2, y_3) # igual a # (x, y) = x_1 * y_1 + x_2 * y_2 + x_3 * y_3 #.

Exemplo mais interessante é um espaço de todas as funções contínuas em um segmento # a, b # com um produto escalar definido como

# (f, g) = int_a ^ b f (x) * g (x) dx #

Na física quântica, o espaço de Hilbert desempenha um papel muito importante como uma função que descreve o estado de um sistema. # Psi # é um elemento de um espaço de Hilbert.

Posso recomendar

http://www.phy.ohiou.edu/~elster/lectures/qm1_1p2.pdf

como uma introdução ao uso do espaço de Hilbert em física quântica.