Qual é o alcance de uma matriz? + Exemplo

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Explicação:

Um conjunto de vetores abrange um espaço se todos os outros vetores no espaço puderem ser escritos como uma combinação linear do conjunto de abrangência. Mas, para chegar ao significado disso, precisamos olhar para a matriz como feita de vetores de coluna.

Aqui está um exemplo em #mathcal R ^ 2 #:

Deixe nossa matriz #M = ((1,2), (3,5)) #

Isto tem vetores de colunas: #((1),(3))# e #((2),(5))#, que são linearmente independentes, então a matriz é não singular ou seja, invertível etc etc.

Digamos que queremos mostrar que o ponto generalizado # (x, y) # está dentro do intervalo desses dois vetores, isto é, para que a matriz abranja todos os #mathcal R ^ 2 #então procuramos resolver isso:

#alfa ((1), (3)) + beta ((2), (5)) = ((x), (y)) #

Ou:

# ((1,2), (3,5)) ((alfa), (beta)) = ((x), (y)) #

Você pode resolver isso de várias maneiras, por exemplo, reduzir linha ou inverter M ….. para obter:

#alpha = - 5x + 2y, beta = 3x - y #

Então, digamos que queremos verificar isso #(2,3)# está no intervalo desta matriz, M, aplicamos o resultado que acabamos de obter:

#alpha = -4 #

#beta = 3 #

Dupla verificação:

#-4 ((1),(3)) + 3 ((2),(5)) = ((2),(3))# !!

Considere em seguida uma matriz diferente: #M '= ((1,2), (2,4)) #. Isto é singular porque seus vetores de coluna, #((1),(2))# e #((2),(4))#, são linearmente dependentes. Esta matriz só se estende ao longo da direção #((1),(2))#.