O que é uma matriz ortogonal? + Exemplo

Responda:

Essencialmente um ortogonal #n xx n # matriz representa uma combinação de rotação e possível reflexão sobre a origem na # n # espaço dimensional.

Preserva distâncias entre pontos.

Explicação:

Uma matriz ortogonal é aquela cujo inverso é igual à sua transposição.

Um típico # 2 xx 2 # matriz ortogonal seria:

#R_theta = ((cos theta, sin teta), (-sin teta, cos teta)) #

para alguns #theta em RR #

As linhas de uma matriz ortogonal formam um conjunto ortogonal de vetores unitários. Por exemplo, # (cos theta, sin theta) # e # (- sin theta, cos theta) # são ortogonais entre si e de comprimento #1#. Se nós chamamos o antigo vector # vecA # e o último vetor # vecB #, então:

#vecA cdot vecB = -sinthetacostheta + sinthetacostheta = 0 #

(daí, ortogonal)

# || vecA || = sqrt (cos ^ 2theta + sin ^ 2theta) = 1 #

# || vecB || = sqrt ((- sintheta) ^ 2 + cos ^ 2theta) = 1 #

(portanto, vetores unitários)

As colunas também formam um conjunto ortogonal de vetores unitários.

O determinante de uma matriz ortogonal será sempre #+-1#. Se for #+1# então a matriz é chamada de matriz ortogonal especial.