Como posso resolver essa equação diferencial?

Responda:

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Explicação:

Isto é um equação diferencial separável, o que significa simplesmente que é possível agrupar o # x # Termos & # y # termos em lados opostos da equação. Então, isso é o que faremos primeiro:

# (e ^ x) ydy / dx = e ^ (- y) + e ^ (- 2x) * e ^ (- y) #

# => (e ^ x) dy / dx = e ^ (- y) / y (1 + e ^ (- 2x)) #

# => e ^ x / (1 + e ^ (- 2x)) dy / dx = e ^ (- y) / y #

Agora queremos obter Dy no lado com y e dx no lado com x's. Precisamos fazer um pouco de reorganização:

# (1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x dx = y / e ^ (- y) dy #

Agora, integramos os dois lados:

#int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx = int y / e ^ (- y) dy #

Vamos fazer cada integral em volta:

1. #int ((1 + e ^ (- 2x)) / e ^ x) dx #

Primeiro, vamos dividir isso em duas integrais separadas pela regra de adição / subtração:

# => int (1 / e ^ x) dx + int (e ^ (- 2x)) / e ^ xdx #

Estes parecem meio irritantes. No entanto, podemos dar-lhes um pouco de reformulação para torná-los mais bonitos (e muito mais fáceis de resolver):

# => int (e ^ (- x)) dx + int (e ^ (- 3x)) dx #

Ambos são agora simples #você#-substituições integrais. Se você definir #u = -x # e # -3x # respectivamente, você obterá a resposta como:

# => -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

1. #int y / e ^ (- y) dy #

# Se tornarmos o expoente negativo positivo, obtemos:

#int (ye ^ y) dy #

Nós precisaremos usar a integração por partes para isso. A fórmula é:

#int (uv) dy = uv-int (v * du) #

Vamos definir #u = y #e #dv = e ^ y dy #. A razão é que nós queremos um fácil # du # para essa integração final, e também porque # e ^ y # é muito fácil de integrar.

Assim:

#u = y #

# => du = dy #

#dv = e ^ y dy #

#v = e ^ y #

Agora, apenas conectamos e chocamos:

# => int (ye ^ y) dy = ye ^ y - int (e ^ y) dy #

# = ye ^ y - e ^ y #

Colocando tudo de volta:

# ye ^ y - e ^ y = -e ^ (- x) - e ^ (- 3x) / 3 + C #

Livrar-se de expoentes negativos:

# ye ^ y - e ^ y = -1 / e ^ (x) - 1 / (3e ^ (- 3x)) + C #

E essa é uma resposta final bastante decente. Se você quisesse resolver # y #, você poderia, e você acabaria com

#y = -1 / (e ^ (x) e ^ y) - 1 / (3e ^ ye ^ (- 3x)) + C / e ^ y + 1 #

Observe que não temos um # + C # no LHS desta equação. A razão para isso é que, mesmo se o tivéssemos colocado, nós o subtrairíamos do RHS, e uma constante arbitrária menos uma constante arbitrária ainda é (espere) uma constante arbitrária. Portanto, para esses problemas, desde que você tenha o seu # + C # em qualquer lado da equação, você ficará bem.

Espero que tenha ajudado:)