Como você resolve a desigualdade 1 / (x + 1)> 3 / (x-2)?

Responda:

#x <- 5/2 cor (branco) (xx) # ou #color (branco) (xx) -1 <x <2 #

Explicação:

Primeiro de tudo, note que a sua desigualdade só é definida se os seus denominadores não forem iguais a zero:

# x + 1! = 0 <=> x! = -1 #

#x - 2! = 0 <=> x! = 2 #

Agora, seu próximo passo seria "livrar-se" das frações. Isso pode ser feito se multiplicar ambos os lados da desigualdade com # x + 1 # e # x-2 #.

No entanto, você precisa ter cuidado, pois, se você multiplicar uma inequação com um número negativo, deverá inverter o sinal de desigualdade.

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Vamos considerar os diferentes casos:

caso 1: #color (branco) (xxx) x> 2 #:

Ambos #x + 1> 0 # e #x - 2> 0 # aguarde. Assim, você recebe:

#x - 2> 3 (x + 1) #

#x - 2> 3x + 3 #

… calcular # -3x # e #+2# em ambos os lados…

# -2x> 5 #

… dividido por #-2# em ambos os lados. Como #-2# é um número negativo, você deve inverter o sinal de desigualdade …

#x <- 5/2 #

No entanto, não há # x # que satisfaz tanto a condição #x> 2 # e #x <- 5/2 #. Assim, não há solução neste caso.

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caso 2: #color (branco) (xxx) -1 <x <2 #:

Aqui, #x + 1> 0 # mas #x - 2 <0 #. Assim, você precisa inverter o sinal de desigualdade uma vez e obter:

#color (branco) (i) x - 2 <3 (x + 1) #

#color (branco) (x) -2x <5 #

… dividido por #-2# e inverta o sinal de desigualdade de novo …

#color (branco) (xxx) x> -5 / 2 #

A desigualdade #x> -5 / 2 # é verdade para todos # x # no intervalo # -1 <x <2 #. Assim, neste caso, temos a solução # -1 <x <2 #.

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caso 3: #color (branco) (xxx) x <-1 #:

Aqui, ambos os denominadores são negativos. Assim, se você multiplicar a desigualdade com os dois, precisará inverter o sinal de desigualdade duas vezes e obterá:

#x - 2> 3x + 3 #

#color (branco) (i) -2x> 5 #

#color (branco) (xxi) x <- 5/2 #

Como a condição #x <-5 / 2 # é mais restritivo que a condição #x <-1 #, a solução para este caso é #x <- 5/2 #.

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No total, a solução é

#x <- 5/2 cor (branco) (xx) # ou #color (branco) (xx) -1 <x <2 #

ou, se você preferir uma notação diferente,

#x em (- oo, -5/2) uu (-1, 2) #.

Responda:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #

Explicação:

# 1 / (x + 1)> 3 / (x-2) #

vamos passar everithing para o lado esquerdo da desigualdade, subtraindo # 3 / (x-2) #:

# 1 / (x + 1) -3 / (x-2)> 0 #

Agora devemos colocar toda a desigualdade como o mesmo denominador. A parte com (x + 1) nós multiplicamos por # (x-2) / (x-2) # (que é 1!) e vice-versa:

# (x-2) / ((x + 1) (x-2)) - (3 (x + 1)) / ((x + 1) (x-2))> 0 #

Nós fizemos o truque antes, para ter toda a inequação com o mesmo denominador:

# (- 2x-5) / ((x + 1) (x-2))> 0 #.

# (x + 1) (x-2) # corresponde a uma parábola que dá valores positivos no ineterval # -oo, -1 uu 2, + oo # e valores negativos no intervalo #-1, 2#. Lembre-se que x não pode ser -1 ou 2 devido a dar o denominador zero.

No primeiro caso (denominador positivo) podemos simplificar a inequação em:

# -2x-5> 0 # e #x em -oo, -1 uu 2, + oo #

que dá:

#x <-5 / 2 # e #x em -oo, -1 uu 2, + oo #.

A intercepção de intervalos acima dá #x <-5 / 2 #.

No segundo caso, o denominador é negativo, portanto, para o resultado dando um número positivo, o numerador deve ser negativo:

# -2x-5 <0 # e # x em -1, 2 #

que dá

#x> -5 / 2 #. e # x em -1, 2 #

A intercepção de intervalos dá # x em -1, 2 #

Juntando as soluções dos dois casos, obtemos:

# - oo, -5/2 uu -1, 2 #