Qual é o alcance da função quadrática f (x) = 5x ^ 2 + 20x + 4?

# (x + 2) ^ 2 = x ^ 2 + 4x + 4 #

# 5 (x + 2) ^ 2 = 5x ^ 2 + 20x + 20 #

assim

#f (x) = 5x ^ 2 + 20x + 4 #

# = 5x ^ 2 + 20x + 20-16 #

# = 5 (x + 2) ^ 2-16 #

O valor mínimo de #f (x) # ocorrerá quando # x = -2 #

#f (-2) = 0-16 = -16 #

Daí a gama de #f (x) # é # - 16, oo) #

Mais explicitamente, vamos #y = f (x) #, então:

#y = 5 (x + 2) ^ 2 - 16 #

Adicionar #16# para ambos os lados para obter:

#y + 16 = 5 (x + 2) ^ 2 #

Divida os dois lados por #5# para obter:

# (x + 2) ^ 2 = (y + 16) / 5 #

Então

# x + 2 = + -sqrt ((y + 16) / 5) #

Subtrair #2# de ambos os lados para obter:

#x = -2 + -sqrt ((y + 16) / 5)

A raiz quadrada só será definida quando #y> = -16 #, mas para qualquer valor de #y em -16, oo) #, esta fórmula nos dá um ou dois valores de # x # de tal modo que #f (x) = y #.