Z é um número complexo. Mostre que a equação z ^ 4 + z + 2 = 0 não pode ter uma raiz z tal que z <1?

# z ^ 4 + z + 2 = 0 #

# z ^ 4 + z = -2 #

#abs (z ^ 4 + z) = abs (- 2) = 2 #

#abs (z ^ 4 + z) = absz abs (z ^ 3 + 1) #

E se #absz <1 #, então # absz ^ 3 <1 #, E #abs (z ^ 3 + 1) <= abs (z ^ 3) + abs1 <1 + 1 = 2 #

Finalmente se #absz <1 #, então

#abs (z ^ 4 + z) = absz abs (z ^ 3 + 1) <1 * 2 <2 # então não podemos ter

# z ^ 4 + z = -2 #

#abs (z ^ 4 + z) = abs (- 2) = 2 # conforme necessário para uma solução.

(Pode haver mais provas elegantes, mas isso funciona.)