Qual é o limite quando x se aproxima do infinito de (1 + a / x) ^ (bx)?

Usando o logaritmo e a regra do governo, #lim_ {x para infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab} #.

Usando a substituição # t = a / x # ou equivalente # x = a / t #, # (1 + a / x) ^ {bx} = (1 + t) ^ {{ab} / t} #

Usando propriedades logarítmicas,

# = e ^ {ln (1 + t) ^ {{ab} / t}} = e ^ {{ab} / t ln (1 + t)} = e ^ {ab {ln (1 + t) } / t} #

Pela Regra de l'Hopital, #lim_ {t para 0} {ln (1 + t)} / {t} = lim_ {t para 0} {1 / {1 + t}} / {1} = 1 #

Conseqüentemente, #lim_ {x para infty} (1 + a / x) ^ {bx} = e ^ {ab lim_ {t para 0} {ln (1 + t)} / {t}} = e ^ {ab} #

(Nota: #t para 0 # Como #x para infty #)