Qual é o comprimento da escada se uma escada de comprimento L é transportada horizontalmente em torno de uma esquina de uma sala de 3 metros de largura em uma sala de 4 metros de largura?

Considere um segmento de linha em execução # (x, 0) # para # (0, y) # através do canto interior em #(4,3)#.

O comprimento mínimo deste segmento de linha será o comprimento máximo da escada que pode ser manobrado em torno deste canto.

Suponha que # x # está além #(4,0)# por algum fator de escala, # s #, de 4, então

#x = 4 + 4s = 4 (1 + s) #

assista ao # (1 + s) # aparecendo mais tarde como um valor a ser fatorado de algo.

Por triângulos semelhantes, podemos ver que

#y = 3 (1 + 1 / s) #

Pelo Teorema de Pitágoras, podemos expressar o quadrado do comprimento do segmento de linha como uma função de # s #

# L ^ 2 (s) = 3 ^ 2 (s ^ (- 2) + 2s ^ (- 1) + 1) + 4 ^ 2 (1 + 2s + s ^ 2) #

Normalmente nós pegamos a derivada de L (s) para encontrar o mínimo, mas neste caso é mais fácil pegar a derivada de # L ^ 2 (s) #.

(Note que se #L (s) # é um mínimo como # s = s_0 #, então # L ^ 2 (s) # também será um mínimo em # s = s_0 #.)

Tomando a primeira derivada de # L ^ 2 (s) # e definindo-o para zero, obtemos:

# 3 ^ 2 (-2s ^ (- 3) - 2s ^ (- 2)) + 4 ^ 2 (2 - 2s) = 0 #

Multiplicando por # s ^ 3 # e então fatorando # 2 (1 + s) #

nos permite resolver para # s #

# s = (3/4) ^ (2/3) #

Conectando esse valor de volta à equação para # L ^ 2 (s) # e pegando a raiz quadrada (eu usei uma planilha), nós conseguimos

o comprimento máximo da escada # = 9,87 pés # (aprox.)