Diferencie cos (x ^ 2 + 1) usando o primeiro princípio da derivada?

Responda:

# -sin (x ^ 2 + 1) * 2x #

Explicação:

# d / dx cos (x ^ 2 + 1) #

Para este problema, precisamos usar regra de cadeia, bem como o fato de que a derivada de #cos (u) = -sin (u) #. Regra de cadeia, basicamente, apenas afirma que você pode primeiro derivar a função externa com relação ao que está dentro da função e, em seguida, multiplicar isso pela derivada do que está dentro da função.

Formalmente, # dy / dx = dy / (du) * (du) / dx #, Onde #u = x ^ 2 + 1 #.

Primeiro precisamos descobrir a derivada da parte interna do cosseno, # 2x #. Então, depois de ter encontrado a derivada do cosseno (um seno negativo), podemos apenas multiplicá-lo por # 2x #.

# = - sin (x ^ 2 + 1) * 2x #

Responda:

Por favor veja abaixo.

Explicação:

#f (x) = cos (x ^ 2-1) #

Nós precisamos encontrar

#lim_ (hrarr0) (f (x + h) -f (x)) / h = lim_ (hrarr0) (cos ((x + h) ^ 2-1) -cos (x ^ 2-1)) / h #

Vamos nos concentrar na expressão cujo limite precisamos.

# (cos ((x ^ 2-1) + (2xh + h ^ 2)) - cos (x ^ 2-1)) / h #

# = (cos (x ^ 2-1) cos (2xh + h ^ 2) - sin (x ^ 2-1) sen (2xh + h ^ 2) -cos (x ^ 2-1)) / h #

# = cos (x ^ 2-1) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / h - sen (x ^ 2-1) sen (2xh + h ^ 2) / h #

# = cos (x ^ 2-1) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / (h (2x + h)) (2x + h) - sin (x ^ 2-1) sen (2xh + h ^ 2) / (h (2x + h)) (2x + h) #

Nós usaremos os seguintes limites:

#lim_ (hrarr0) (cos (2xh + h ^ 2) -1) / (h (2x + h)) = lim_ (trarr0) (custo-1) / t = 0 #

#lim_ (hrarr0) sin (2xh + h ^ 2) / (h (2x + h)) = lim_ (trarr0) sint / t = 1 #

E #lim_ (hrarr0) (2x + h) = 2x #

Para avaliar o limite:

#cos (x ^ 2-1) (0) (2x) - sen (x ^ 2-1) * (1) * (2x) = -2xsin (x ^ 2-1) #