Diferencie do primeiro princípio x ^ 2sin (x)?

Responda:

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) # da definição do derivado e tomando alguns limites.

Explicação:

Deixei #f (x) = x ^ 2 sin (x) #. Então

# (df) / dx = lim_ {h para 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# = lim_ {h para 0} ((x + h) ^ 2sin (x + h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = lim_ {h to 0} ((x ^ 2 + 2hx + h ^ 2) (sen (x) cos (h) + sen (h) cos (x)) - x ^ 2sin (x)) / h #

#=#

# lim_ {h para 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h + #

# lim_ {h para 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h + #

# lim_ {h para 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h + #

# lim_ {h para 0} (h ^ 2 (sen (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

por uma identidade trigonométrica e algumas simplificações. Nestas quatro últimas linhas temos quatro termos.

O primeiro termo é igual a 0, desde

#lim_ {h para 0} (x ^ 2sin (x) cos (h) - x ^ 2sin (x)) / h #

# = x ^ 2sin (x) (lim_ {h para 0} (cos (h) - 1) / h) #

#= 0#, que pode ser visto, e. da expansão de Taylor ou da regra de L'Hospital.

o Quarto termo também desaparece porque

#lim_ {h para 0} (h ^ 2 (sen (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h para 0} h (sen (x) cos (h) + sin (h) cos (x)) #

#= 0#.

Agora o Segundo termo simplifica para

# lim_ {h para 0} (x ^ 2sin (h) cos (x)) / h #

# = x ^ 2cos (x) (lim_ {h para 0} (sin (h)) / h) #

# = x ^ 2cos (x) #, Desde a

#lim_ {h para 0} (sin (h)) / h = 1 #, como mostrado aqui, ou por ex. Regra de L'Hospital (veja abaixo).

o Terceiro termo simplifica para

# lim_ {h para 0} (2hx (sin (x) cos (h) + sin (h) cos (x))) / h #

# = lim_ {h para 0} 2xsin (x) cos (h) + 2xsin (h) cos (x) #

# = 2xsin (x) #,

que depois adicionando ao segundo termo dá isso

# (df) / dx = 2xsin (x) + x ^ 2cos (x) #.

Nota: Pela regra de L'Hospital, desde # lim_ {h para 0} sin (h) = 0 # e # lim_ {h para 0} h = 0 # e ambas as funções são diferenciáveis em torno # h = 0 #nós temos isso

# lim_ {h para 0} sin (h) / h = lim_ {h para 0} ((d / (dh)) sen (h)) / (d / (dh) h) = lim_ { h para 0} cos (h) = 1 #.

O limite # lim_ {h para 0} (cos (h) - 1) / h = 0 # pode ser mostrado de forma semelhante.

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