Como você usa a regra da cadeia para diferenciar y = (x ^ 3 + 4) ^ 5 / (3x ^ 4-2)?

Responda:

#color (azul) (y '= ((x ^ 3 + 4) ^ 4 (33x ^ 6-48x ^ 3-30x ^ 2)) / (3x ^ 4-2) ^ 2) #

Explicação:

# y # é um quociente na forma de #color (azul) (y = (u (x)) / (v (x))) #

A deferenciação do quociente é a seguinte:

#color (azul) (y '= ((u (x))' v (x) - (v (x)) 'u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

Vamos encontrar # (u (x)) '# e # (v (x)) '#

#color (verde) ((u (x)) '=?) #

#u (x) # é um composto de duas funções #f (x) # e #g (x) # Onde:

#f (x) = x ^ 5 # e #g (x) = x ^ 3 + 4 #

Temos que usar a regra da cadeia para encontrar #color (verde) ((u (x)) ') #

#u (x) = f (g (x)) # então

#color (verde) ((u (x)) '= f' (g (x)) * g '(x)) #

#f '(x) = 5x ^ 4 # então

#f '(g (x)) = 5 (g (x)) ^ 4 #

#color (verde) (f '(g (x)) = 5 (x ^ 3 + 4) ^ 4) #

#color (verde) ((g (x)) '= 3x ^ 2) #

Assim,# (u (x)) '= 5 (x ^ 3 + 4) ^ 4 * 3x ^ 2 #

#color (verde) ((u (x)) '= 15x ^ 2 (x ^ 3 + 4) ^ 4) #

#color (vermelho) ((v (x)) '=?) #

#v (x) = 3x ^ 4-2 #

#color (vermelho) ((v (x)) '= 12x ^ 3) #

Agora, vamos substituir #color (verde) ((u (x)) '# e #color (vermelho) ((v (x)) '# em #color (azul) y '#

#color (azul) (y '= ((u (x))' v (x) - (v (x)) 'u (x)) / (v (x)) ^ 2) #

#y '= (cor (verde) (15x ^ 2 (x ^ 3 + 4) ^ 4) * (3x ^ 4-2) -color (vermelho) (12x ^ 3) (x ^ 3 + 4) ^ 5) / (3x ^ 4-2) ^ 2 #

#y '= ((x ^ 3 + 4) ^ 4 15x ^ 2 (3x ^ 4-2) -12x ^ 3 (x ^ 3 + 4)) / (3x ^ 4-2) ^ 2 #

#y '= ((x ^ 3 + 4) ^ 4 45x ^ 6-30x ^ 2-12x ^ 6-48x ^ 3) / (3x ^ 4-2) ^ 2 #

#y '= ((x ^ 3 + 4) ^ 4 (45x ^ 6-12x ^ 6-48x ^ 3-30x ^ 2)) / (3x ^ 4-2) ^ 2 #

Assim sendo, #color (azul) (y '= ((x ^ 3 + 4) ^ 4 (33x ^ 6-48x ^ 3-30x ^ 2)) / (3x ^ 4-2) ^ 2) #