Qual é a distância entre (0, 0, 8) e (9, 2, 0)?

Responda:

A distância é #sqrt (149) #

Explicação:

A distância entre dois pontos

# (x_1, y_1, z_1) #

e

# (x_2, y_2, z_2) #

em # RR ^ 3 # (três dimensões) é dado por

# "distance" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2 + (z_2-z_1) ^ 2) #

Aplicando-o ao problema em questão, obtemos a distância entre #(0, 0, 8)# e #(9, 2, 0)# Como

# "distance" = sqrt ((9-0) ^ 2 + (2-0) ^ 2 + (0-8) ^ 2) = sqrt (81 + 4 + 64) = sqrt (149) #

O seguinte é uma explicação de onde vem a fórmula da distância e não é necessário para entender a solução acima.

A fórmula de distância dada acima parece suspeitamente semelhante à fórmula de distância em # RR ^ 2 # (duas dimensões):

# "distance" = sqrt ((x_2-x_1) ^ 2 + (y_2-y_1) ^ 2) #

que vem de uma aplicação simples do teorema de Pitágoras, desenhando um triângulo retângulo entre dois pontos com as pernas paralelas ao # x # e # y # eixos.

Acontece que o # RR ^ 3 # versão pode ser derivada de maneira similar. Se usarmos (no máximo) 3 linhas para conectar dois pontos, indo paralelamente ao # x #, # y #e # z # eixos, obtemos uma caixa com os pontos como cantos opostos. Então, vamos descobrir como calcular a distância na diagonal de uma caixa.

Estamos tentando descobrir o comprimento da linha vermelha #color (vermelho) (AD) #

Como esta é a hipotenusa do triângulo # ABD #, do teorema de Pitágoras:

# (cor (vermelho) (AD)) ^ 2 = (AB) ^ 2 + (cor (azul) (BC)) ^ 2 #

# => cor (vermelho) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (cor (azul) (BC)) ^ 2) "(i)" #

Infelizmente, não temos o comprimento de #color (azul) (BD) # como um dado. Para obtê-lo, devemos aplicar novamente o teorema de Pitágoras, desta vez para o triângulo # BCD #.

# (cor (azul) (BD)) ^ 2 = (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2 "(ii)" #

Como nós só precisamos do quadrado de #color (azul) (BD) #, agora podemos substituir # ("ii") # para dentro #("Eu")#:

#color (vermelho) (AD) = sqrt ((AB) ^ 2 + (BC) ^ 2 + (CD) ^ 2) #

Finalmente, se tivermos #UMA# a # (x_1, y_1, z_1) # e # D # a # (x_2, y_2, z_2) #, então nós temos os comprimentos

#CD = | x_2 - x_1 | #

#BC = | y_2 - y_1 | #

#AB = | z_2 - z_1 | #

Substituindo estes para o acima, nos dá o resultado desejado.

Como uma nota extra, embora possamos apenas fazer provas geométricas em até 3 dimensões, os matemáticos têm uma distância generalizada em # RR ^ n # (# n # dimensões). A distância entre

# (x_1, x_2, …, x_n) # e # (y_1, y_2, …, y_n) # é definido como

#sqrt (sum_ (k = 1) ^ n (y_k - x_k) ^ 2) #

que corresponde ao padrão de # RR ^ 2 # e # RR ^ 3 #.