Qual opção está correta?

Responda:

Todos eles.

Explicação:

Por inspeção, todos os termos contêm um # x # ou # y # portanto #(0,0)# é uma solução para todos eles para qualquer um ou b. Mesmo que a opção 4 seja apenas um ponto #(0,0)# Isso conta como uma solução racional.

Responda:

Opção #1# e #3# só.

Explicação:

Expandir:

# a ^ 2y ^ 2-2abxy + b ^ 2x ^ 2 + 4xy = 0 #

# (b ^ 2) x ^ 2 + (4y-2aby) x + (a ^ 2y ^ 2) = 0 #

Usando discriminante:

# (4y-2aby) ^ 2-4 (b ^ 2) (a ^ 2y ^ 2) = n ^ 2 #

Isso simplifica para:

# 16y ^ 2 (1-ab) = n ^ 2 #

Para a equação para obter soluções racionais, a equação deve ser igual a um quadrado perfeito. # 16y ^ 2 # já é um então # (1-ab) # deveria ser também.

Opção #1# e #3# só desde que eles igual a #0# e #1/4# respectivamente.