Qual é a meia-vida de (Na ^ 24) se um assistente de pesquisa fez 160 mg de sódio radioativo (Na ^ 24) e descobriu que havia apenas 20 mg restantes 45 horas depois?

Responda:

#color (azul) ("A meia vida é 15 horas") #

Explicação:

Precisamos encontrar uma equação do formulário:

#A (t) = A (0) e ^ (kt) #

Onde:

#bb (A (t)) = # a quantia após o tempo t.

#bb (A (0) = # o montante no início. isto é, t = 0.

# bbk = # o fator de crescimento / decaimento.

# bbe = # Número de Euler.

# bbt = # tempo, neste caso horas.

Nos é dado:

#A (0) = 160 #

#A (45) = 20 #

Precisamos resolver para # bbk #:

# 20 = 160e ^ (45k) #

Divida por 160:

# 1/8 = e ^ (45k) #

Tomando logaritmos naturais de ambos os lados:

#ln (1/8) = 45kln (e) #

#ln (e) = 1 #

Conseqüentemente:

#ln (1/8) = 45k #

Dividindo por 45:

#ln (1/8) / 45 = k #

#:.#

#A (t) = 160e ^ (t (ln (1/8) / 45)) #

#A (t) = 160e ^ (t / 45 (ln (1/8)) #

#A (t) = 160 (1/8) ^ (t / 45) #

Desde que por definição a meia vida é o período em que temos metade do montante inicial:

#A (t) = 80 #

Então, precisamos resolver para t em:

# 80 = 160 * (1/8) ^ (t / 45) #

# 80/160 = (1/8) ^ (t / 45) #

# 1/2 = (1/8) ^ (t / 45) #

Tomando logaritmos naturais:

#ln (1/2) = t / 45ln (1/8) #

# 45 * (ln (1/2)) / (ln (1/8)) = t = 15 #

A meia vida é de 15 horas.

Responda:

15 horas

Explicação:

• Atalho

Como a quantidade de uma substância em decomposição é reduzida cada meia-vida (daí o nome), reduzir pela metade a quantidade em etapas requer 3 etapas para obter de 160 a 20:

• # 160 a 80 a 40 a 20 #

E #45 = 3 * 15#

Então a meia-vida é de 15 anos.

• Forma mais formal

Para meia-vida # tau #, Onde # X (t) # é a quantidade (massa / número de partículas / etc) que permanece no tempo t:

#X (t) = X_o (1/2) ^ (t / tau) qquad quadrado #

Assim:

#X (0) = X_o, X (tau) = X_o / 2, X (2a) = X_o / 4, … #

Conectando os valores que são dados em #quadrado#:

# 20 = 160 * (1/2) ^ (45 / tau) #

#implies (1/2) ^ (45 / tau) = 1/8 qquad qquad = (1/2) ^ 3 #

#implies 45 / tau = 3 implica tau = 15 #