Um assistente de pesquisa fez 160 mg de sódio radioativo (Na ^ 24) e descobriu que havia apenas 20 mg restantes 45 horas depois, quanto dos 20 mg originais seriam deixados em 12 horas?

Responda:

#=11.49# mg será deixado

Explicação:

Vamos taxa de decaimento ser # x # por hora

Então nós podemos escrever

# 160 (x) ^ 45 = 20 #

ou

# x ^ 45 = 20/160 #

ou

# x ^ 45 = 1/8 #

ou

# x = root45 (1/8) #

ou

# x = 0,995 #

Da mesma forma depois #12# horas

#20(0.955)^12#

#=20(0.57)#

#=11.49# mg será deixado

Responda:

Apenas para usar o modelo de decaimento radioativo convencional como um método alternativo leve.

Depois das 12h temos 11,49mg

Explicação:

Deixei #Q (t) # denotar a quantidade de sódio presente no momento # t #. No # t = 0, Q = Q_0 #

É um modelo bastante simples de resolver com ODEs, mas como não é realmente relacionado à questão, acabamos com

#Q (t) = Q_0e ^ (- kt) # Onde #k # é uma constante de taxa.

Primeiro, encontramos o valor de #k #

# Q_0 = 160 mg, Q (45) = 20 mg #

#Q (45) = 20 = 160e ^ (- 45k) #

#tentanto 1/8 = e ^ (- 45k) #

Tome troncos naturais de ambos os lados:

#ln (1/8) = -ln (8) = -45k #

# k = (ln (8)) / 45 hr ^ (- 1) #

#tentanto Q (t) = Q_0e ^ (- (ln (8)) / 45t) #

Então começando com # Q_0 = 20mg #

#Q (12) = 20e ^ (- (ln (8)) / 45 * 12) = 11,49 mg #