Quais são as identidades de meio ângulo?

As identidades de meio ângulo são definidas da seguinte forma:

# mathbf (sin (x / 2) = pmsqrt ((1-cosx) / 2)) #

#(+)# para quadrantes Eu e II

#(-)# para quadrantes III e IV

# mathbf (cos (x / 2) = pmsqrt ((1 + cosx) / 2)) #

#(+)# para quadrantes Eu e IV

#(-)# para quadrantes II e III

# mathbf (tan (x / 2) = pmsqrt ((1-cosx) / (1 + cosx))) #

#(+)# para quadrantes Eu e III

#(-)# para quadrantes II e IV

Podemos derivá-los das seguintes identidades:

# sin ^ 2x = (1 cos (2x)) / 2 #

# sin ^ 2 (x / 2) = (1 cos (x)) / 2 #

#color (azul) (sin (x / 2) = pmsqrt ((1-cos (x)) / 2)) #

Sabendo como # sinx # é positivo para #0-180^@# e negativo para #180-360^@#sabemos que é positivo para quadrantes Eu e II e negativo para III e IV.

# cos ^ 2x = (1 + cos (2x)) / 2 #

# cos ^ 2 (x / 2) = (1 + cos (x)) / 2 #

#color (azul) (cos (x / 2) = pmsqrt ((1 + cos (x)) / 2)) #

Sabendo como # cosx # é positivo para #0-90^@# e #270-360^@#e negativo para #90-270^@#sabemos que é positivo para quadrantes Eu e IV e negativo para II e III.

#tan (x / 2) = sen (x / 2) / (cos (x / 2)) = (pmsqrt ((1-cos (x)) / 2)) / (pmsqrt ((1 + cos (x)) / 2)) #

#color (azul) (tan (x / 2) = pmsqrt ((1-cos (x)) / (1 + cos (x)))) #

Podemos ver que, se tomarmos as condições para valores positivos e negativos de # sinx # e # cosx # e dividi-los, entendemos que isso é positivo para os quadrantes Eu e III e negativo para II e IV.