Os números reais a, b e c satisfazem a equação: 3a ^ 2 + 4b ^ 2 + 18c ^ 2 - 4ab - 12ac = 0. Ao formar quadrados perfeitos, como você prova que a = 2b = c?

Responda:

# a = 2b = 3c # Veja a explicação e a prova abaixo.

Explicação:

# 3a ^ 2 + 4b ^ 2 + 18c ^ 2-4ab-12ac = 0 #

Observe que os coeficientes são todos iguais, exceto para um ^ 2, por exemplo: 3, reescreva como segue para agrupar para fatoração:

# a ^ 2-4ab + 4b ^ 2 + 2a ^ 2-12ac + 18c ^ 2 = 0 #

# (a ^ 2-4ab + 4b ^ 2) +2 (a ^ 2-6ac + 9c ^ 2) = 0 #

# (a - 2b) ^ 2 + 2 (a-3c) ^ 2 = 0 #

Temos um termo quadrado perfeito mais duas vezes um quadrado perfeito de outro termo igual a zero, para que isso seja verdade, cada termo da soma deve ser igual a zero, então:

# (a - 2b) ^ 2 = 0 # e # 2 (a-3c) ^ 2 = 0 #

# a-2b = 0 # e # a-3c = 0 #

# a = 2b # e # a = 3c #

portanto:

# a = 2b = 3c #

Daí provado.