Suponha que eu não tenha uma fórmula para g (x), mas eu sei que g (1) = 3 e g '(x) = sqrt (x ^ 2 + 15) para todo x. Como eu uso uma aproximação linear para estimar g (0,9) e g (1,1)?

Fique comigo um pouco, mas envolve a equação de inclinação-interceptação de uma linha baseada na primeira derivada … E eu gostaria de levar você ao caminho para Faz a resposta, não apenas dar você a resposta …

Ok, antes de eu chegar à resposta, eu vou deixar você entrar na (um pouco) bem humorada discussão que meu colega de escritório e eu acabamos de ter …

Eu: "Ok, waitasec … Você não sabe g (x), mas você sabe que a derivada é verdadeira para todos (x) … Por que você quer fazer uma interpretação linear baseada na derivada? a integral da derivada, e você tem a fórmula original … Certo?"

OM: "Espere, o que?" ele lê a pergunta acima "Santo moly, eu não faço isso há anos!"

Então, isso nos leva a uma discussão entre nós sobre como integrar isso, mas o que o professor realmente quer (provavelmente) é que você não faça a operação inversa (que em alguns casos pode ser realmente HARD), mas para entender que o primeiro derivado é realmente.

Então, nós coçamos nossas cabeças e refletimos sobre nossas memórias coletivas, e finalmente concordamos que a 2ª derivada é o máximo / mínimo local, e a 1ª derivada (a que você se importa) é a inclinação da curva no ponto dado.

Bem, o que isso tem a ver com o preço dos vermes no México? Bem, se fizermos uma suposição de que a inclinação permanece relativamente constante para todos os pontos "próximos" (para saber isso, você precisa olhar para a curva e usar o bom senso com base no que sabe sobre as coisas - mas já que é isso quer, é isso que ele recebe!), então podemos fazer uma interpolação linear - que é exatamente o que você pediu!

Tudo bem, então - a carne da resposta:

A inclinação (m) da função em nosso valor conhecido é:

m =#sqrt (x ^ 2 + 15) #

Portanto, a inclinação no ponto conhecido (x = 1) é:

m =#sqrt (1 ^ 2 + 15) #

m =#sqrt (1 + 15) #

m =#sqrt (16) #

m = 4

Lembre-se, então, que a fórmula para uma linha (necessária para interpolação linear) é:

# y = mx + b #

Isso significa que, para pontos "próximos" de nosso valor conhecido, podemos aproximar os valores como estando em uma linha com declive m e interceptar y b. ou:

#g (x) = mx + b #

#g (x) = 4x + b #

Então, o que é # b #?

Nós resolvemos isso usando nosso valor conhecido:

#g (1) = 3 #

# 4 (1) + b = 3 #

# 4 + b = 3 #

# b = -1 #

Agora sabemos a fórmula para a linha que aproxima nossa curva no ponto conhecido:

g (x#~=#1) = 4x-1

Portanto, não inserimos nossos pontos de aproximação para obter o valor aproximado ou:

#g (0,9) ~ = 4 (0,9) -1 #

#g (0,9) ~ = 3,6-1 #

#g (0,9) ~ = 2,6 #

e

#g (1.1) ~ = 4 (1.1) -1 #

#g (1.1) ~ = 4.4-1 #

#g (1.1) ~ = 3.4 #

Fácil, certo?