Qual é a forma padrão da equação de um círculo passando por (0, -14), (-12, -14) e (0,0)?

Responda:

Um círculo de raio #sqrt (85) # e centro #(-6,-7)#

A equação de formulário padrão é: # (x + 6) ^ 2 + (y + 7) ^ 2 = 85 #

Ou, # x ^ 2 + 12x + y ^ 2 + 14y = 0 #

Explicação:

A equação cartesiana de um círculo com centro # (a, b) # e raio # r # é:

# (x-a) ^ 2 + (y-b) ^ 2 = r ^ 2 #

Se o círculo passar por (0, -14), então:

# (0-a) ^ 2 + (-14-b) ^ 2 = r ^ 2 #

# a ^ 2 + (14 + b) ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 1

Se o círculo passar por (0, -14), então:

# (-12-a) ^ 2 + (-14-b) ^ 2 = r ^ 2 #

# (12 + a) ^ 2 + (14 + b) ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 2

Se o círculo passar por (0,0) então:

# (0-a) ^ 2 + (0-b) ^ 2 = r ^ 2 #

# a ^ 2 + b ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 3

Agora temos 3 equações em 3 incógnitas

Eq 2 - Eq 1 dá:

# (12 + a) ^ 2 -a ^ 2 = 0 #

#:. (12 + a-a) (12 + a + a) = 0 #

#:. 12 (12 + 2a) = 0 #

#:. a = -6 #

Subs # a = 6 # em Eq 3:

# 36 + b ^ 2 = r ^ 2 # ………………………….. 4

Subs # a = 6 # e # r ^ 2 = 36 + b ^ 2 #em Eq 1:

# 36 + (14 + b) ^ 2 = 36 + b ^ 2 #

#:. (14 + b) ^ 2 - b ^ 2 = 0 #

#:. (14 + b-b) (14 + b + b) = 0 #

#:. 14 (14 + 2b) = 0 #

#:. b = -7 #

E finalmente, os Subs # b = -7 # em Eq 4;

# 36 + 49 = r ^ 2 #

#:. r ^ 2 = 85 #

#:. r = sqrt (85) #

E assim a equação do círculo é

# (x + 6) ^ 2 + (y + 7) ^ 2 = 85 #

Que representa um círculo de raio #sqrt (85) # e centro #(-6,-7)#

Nós podemos multiplicar se necessário para obter:

# x ^ 2 + 12x + 36 + y ^ 2 + 14a + 49 = 85 #

# x ^ 2 + 12x + y ^ 2 + 14y = 0 #