Como encontrar a primeira derivada de f (x) = 2 sin (3x) + x?

Responda:

#f '(x) = 6cos (3x) + 1 #

Explicação:

Diferencie cada termo:

# (d (x)) / dx = 1 #

Usando as regras da cadeia para o segundo termo, temos:

#g (x) = h (k (x)) => g '(x) = k' (x) h '(k (x)) #

Com:

#h (u) = 2sin (u) => h '(u) = 2cos (u) #

#k (x) = 3x => k '(x) = 3 #

#g (x) = 2sin (3x) => g '(x) = 6cos (3x) #

Juntos nós temos:

#f '(x) = 6cos (3x) + 1 #

Responda:

Somos solicitados a encontrar o derivado de #f (x) = 2sin (3x) + x # usando a definição: #f '(x) = lim_ (hrarr0) (f (x + h) - f (x)) / (h) #.

Explicação:

Precisamos avaliar:

#lim_ (hrarr0) (overbrace (2sin (3 (x + h)) + (x + h)) ^ (f (x + h)) - overbrace (2sin (3x) + x) ^ f (x) / h #.

Isso será complicado. Para parecer menos complicado, vamos dividir a expressão em duas partes mais simples. Vamos pegar a parte trigonométrica e a parte linear separadamente.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

Eu vou assumir que você pode mostrar que o segundo limite é #1#. O limite mais desafiador é o limite envolvendo funções trigonométricas.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h = 2lim_ (hrarr0) (sen (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (overbrace ((sin3xcos3h + cos3xsin3h)) ^ sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3xcos3x -sin3x + cos3xsin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) ((sen3x (cos3h - 1)) / h + (cos3xsin3h) / h) #

# = 2lim_ (hrarr0) (sen3x (cos3h - 1) / h + cos3x (sin3h) / h) #

# = 2 lim_ (hrarr0) sen3 lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / h + lim_ (hrarr0) cos3x lim_ (hrarr0) (sen3h) / h #

# = 2 (lim_ (hrarr0) sen3x) (3lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / (3h)) + (lim_ (hrarr0) cos3x) (3lim_ (hrarr0) (sen3h) / (3h)) #

# = 2 (sin3x) (3 * 0) + (cos3x) (3 * 1) #

# = 2 (3cos3x) = 6cos (3x) #

Então, quando juntamos as duas peças, conseguimos:

#f '(x) = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) + (x + h) - 2sin (3x) + x) / h #

# = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h) -x) / h #

# = 6cos (3x) + 1 #