Por que a função não é diferenciável?

Responda:

#UMA)# A derivada não existe

#B) # sim

#C) # Não

Explicação:

Questão A

Você pode ver isso de várias maneiras diferentes. Podemos diferenciar a função para encontrar:

#f '(x) = 6/5 (x-2) ^ (- 3/5) = 6 / (5 (x-2) ^ (3/5)) #

que é indefinido em # x = 2 #.

Ou podemos olhar para o limite:

#lim_ (h-> 0) (f (2 + h) -f (2)) / h = lim_ (h-> 0) (3 (2 + h-2) ^ (2/5) -3 (2 -2) ^ (3/5)) / h = #

# = lim_ (h-> 0) 0 / h #

Este limite não existe, o que significa que a derivada não existe nesse ponto.

Questão B

Sim, o Teorema do Valor Médio se aplica. A condição de diferenciabilidade no Teorema do Valor Médio requer apenas que a função seja diferenciável no intervalo aberto # (a, b) # (IE não #uma# e # b # eles mesmos), assim no intervalo #2,5#, o teorema se aplica porque a função é diferenciável no intervalo aberto #(2,5)#.

Também podemos ver que há, de fato, um ponto com a inclinação média nesse intervalo:

Questão C

Não. Como mencionado anteriormente, o Teorema do Valor Médio requer que a função seja totalmente diferenciável no intervalo aberto. #(1,4)#, e nós mencionamos anteriormente que a função não é diferenciável em # x = 2 #, que se encontra nesse intervalo. Isso significa que a função não é diferenciável no intervalo e, portanto, o Teorema do Valor Médio não se aplica.

Também podemos ver que não há ponto no intervalo que contém a inclinação média nessa função, devido à "curva acentuada" da curva.