Seja f (x) = x-1. 1) Verifique se f (x) não é nem ímpar nem impar. 2) Pode f (x) ser escrito como a soma de uma função par e uma função ímpar? a) Se sim, exiba uma solução. Existem mais soluções? b) Se não, prove que é impossível.

Deixei #f (x) = | x -1 | #.

Se f fosse par, então #f (-x) # seria igual #f (x) # para todo x.

Se f fosse estranho, então #f (-x) # seria igual #f (x) # para todo x.

Observe que para x = 1

#f (1) = | 0 | = 0 #

#f (-1) = | -2 | = 2 #

Como 0 não é igual a 2 ou a -2, f não é nem ímpar nem par.

Pode ser escrito como #g (x) + h (x) #, onde g é par e h é ímpar?

Se isso fosse verdade, então #g (x) + h (x) = | x - 1 | #. Chame essa afirmação 1.

Substitua x por x.

#g (-x) + h (-x) = | -x - 1 | #

Como g é par e h é estranho, temos:

#g (x) - h (x) = | -x - 1 | # Chame essa afirmação 2.

Colocando as afirmações 1 e 2 juntas, vemos que

#g (x) + h (x) = | x - 1 | #

#g (x) - h (x) = | -x - 1 | #

ADICIONE ESTAS para obter

# 2g (x) = | x - 1 | + | -x - 1 | #

#g (x) = (| x - 1 | + | -x - 1 |) / 2 #

Isso é de fato mesmo, já que #g (-x) = (| -x - 1 | + | x - 1 |) / 2 = g (x) #

Da declaração 1

# (| -x - 1 | + | x - 1 |) / 2 + h (x) = | x - 1 | #

# | -x - 1 | / 2 + | x - 1 | / 2 + h (x) = | x - 1 | #

#h (x) = | x - 1 | / 2 - | -x - 1 | / 2 #

Isso é de fato estranho, já que

#h (-x) = | -x - 1 | / 2 - | x - 1 | / 2 = -h (x) #.