O número de maneira em que um examinador pode atribuir 30 marcas a 8 perguntas, não inferior a 2 pontos para qualquer pergunta é?

Responda:

#259459200#

Explicação:

Se eu estou lendo isso corretamente, então, se o examinador pode atribuir marcas apenas em múltiplos de 2. Isso significaria que há apenas 15 escolhas dentre as 30 marcas. #30/2 = 15#

Então, temos 15 opções distribuídas nas 8 perguntas.

Usando a fórmula para permutações:

# (n!) / ((n - r)!) #

Onde # n # é o número de objetos (neste caso, as marcas em grupos de 2).

E # r # quantas são tiradas de cada vez (neste caso as 8 questões)

Então nós temos:

#(15!)/((15 - 8)!) = (15!)/(7!) = 259459200#

Responda:

tem # "" _ 21C_14 # (ou 116,280) maneiras.

Explicação:

Começamos com 30 marcos no "banco" para dar. Como todas as questões devem valer pelo menos 2 pontos, nós tomamos # 2 xx 8 = 16 # marcas do #30# e distribuí-los igualmente. Agora cada pergunta tem 2 (até agora) e o "banco" fica com #30-16=14# marcas.

Agora só precisamos encontrar o número de maneiras de dividir as 14 marcas restantes entre as 8 perguntas. No começo, isso pode parecer muito difícil, mas há um truque que o torna muito mais intuitivo.

Vamos simplificar as coisas por um momento. E se tivéssemos apenas 2 perguntas e 14 marcas para dividir entre elas? Quantas maneiras poderíamos fazer isso? Bem, nós poderíamos dividir as marcas como 14 + 0, ou 13 + 1, ou 12 + 2, etc … ou 1 + 13, ou 0 + 14. Em outras palavras, quando só precisamos introduzir 1 divisão (entre 2 perguntas), temos 15 maneiras de fazer isso.

Isto é o mesmo que perguntar: "Quantas maneiras únicas podemos arranjar 14 bolinhas amarelas (as marcas) e 1 bolinha azul (o divisor de perguntas) seguidas?" A resposta para isso é encontrada calculando o número de permutações de todos os 15 mármores (que é #15!#), dividindo então pelo número de maneiras de permutar os mármores amarelos #(14!)# e mármores azuis #(1!)#, já que dentro de cada arranjo, não importa em qual ordem os mármores idênticos aparecem.

Então, quando houver 14 mármores amarelos (marcas) e 1 mármore azul (divisor de perguntas), existem

# (15!) / (14! Xx1!) = (15xxcancel (14!)) / (Cancelar (14!) Xx1) = 15/1 = 15 #

15 maneiras de organizar as bolinhas (dividir as marcas). Nota: isto é igual a # "" _ 15C_14 #.

Vamos introduzir outro mármore azul - isto é, uma segunda divisão ou uma terceira questão para dar as marcas. Agora, temos 16 bolas de gude no total e queremos saber quantas maneiras únicas de conseguir isso. Semelhante a antes, tomamos o #16!# maneiras de organizar todos os mármores, em seguida, dividir-se pelas formas de permutar ambos os amarelos #(14!)# e os azuis #(2!)#:

# (16!) / (14! Xx2!) = (16xx15xxcancel (14!)) / (Cancelar (14!) Xx2xx1) = (16xx15) / (2) = 120 #

Portanto, há 120 maneiras de dividir 14 marcas entre 3 perguntas. Isso também é igual a # "" _ 16C_14 #.

Até agora, você pode perceber para onde estamos indo. O número à esquerda do # C # é igual ao número de marcas que estamos dividindo (mármores amarelos) mais o número de divisores (mármores azuis). O número de divisores é sempre um a menos que o número de perguntas. O número à direita do # C # permanece o número de marcas.

Assim, para dividir as 14 marcas restantes entre todas as 8 perguntas (o que requer 7 divisores), calculamos

# "" _ (14 + 7) C_14 = "" _ 21C_14 #

#color (branco) ("" _ (14 + 7) C_14) = (21!) / (7! xx14!) #

#color (branco) ("" _ (14 + 7) C_14) = "116,280" #

Portanto, há 116.280 maneiras de atribuir 30 pontos a 8 perguntas, em que cada pergunta vale pelo menos 2 pontos.