Y = f (x) é dado.Gráfico, y = f (3x) -2 e y = -f (x-1)?

Responda:

Não tem papel gráfico à mão - então espero que a descrição ajude!

Explicação:

Para # y = f (3x) -2 # primeiro aperto o dado gráfico ao longo do # x # eixo por um fator de 3 (de modo que o mínimo da mão esquerda, por exemplo, ocorre em # x = -2 / 3 #) e, em seguida, empurre o gráfico inteiro baixa por 2 unidades. Assim, o novo gráfico terá um mínimo de #x = -2 / 3 # com um valor de # y = -2 #, um máximo em #(0,0)# e outro mínimo em #(4/3, -4)#

Para # y = -f (x-1) # primeiro deslocar o gráfico 1 unidade para o certo, então vire de cabeça para baixo! Então, o novo gráfico terá dois maxima a #(-1,0)# e #(5,2)# e um mínimo de #(1,-2) #

Responda:

Aqui está uma explicação mais detalhada

Explicação:

Os problemas são casos especiais de um problema mais geral:

Dado o gráfico para # y = f (x) #, qual é o gráfico de #y = a f (b x + c) + d # ?

(o primeiro é para # a = 1, b = 3, c = 0, d = -2 #, enquanto o segundo é para # a = -1, b = 1, c = -1, d = 0 #)

Tentarei explicar a resposta em etapas, resolvendo o problema um passo de cada vez. Será uma resposta muito longa - mas esperamos que o princípio geral seja claro até o final.

Para ilustrar, usarei uma curva específica que mostrarei abaixo, mas a idéia funcionará em geral.

(Se alguém estiver interessado, a função que está sendo plotada aqui é #f (x) = exp (- {(x-1) ^ 2} / 2) #

1) Dado o gráfico para # y = f (x) #, qual é o gráfico de #y = f (x) + d # ?

Este é fácil - tudo o que você precisa fazer é notar que se # (x, y) # é um ponto no primeiro gráfico, então # (x, y + d) # é um ponto no segundo. Isso significa que o segundo gráfico é maior do que o primeiro por uma distância # d # (claro se # d # é negativo, é menor que o primeiro gráfico por # | d | #).

Então, o gráfico de # y = f (x) + 1 # será

Como você pode ver, o gráfico para #y = f (x) + 1 # (a linha roxa sólida) é obtida simplesmente pressionando o gráfico para # y = f (x) # (a linha tracejada cinza) acima por uma unidade.

O gráfico para # y = f (x) -1 # pode ser encontrado pressionando o gráfico original baixa por uma unidade:

2) Dado o gráfico para # y = f (x) #, qual é o gráfico de #y = f (x + c) # ?

É fácil ver que se # (x, y) # é um ponto no # y = f (x) # gráfico, em seguida # (x-c, y) # será um ponto no #y = f (x + c) # gráfico. Isso significa que você pode obter o gráfico de #y = f (x + c) # do gráfico de #y = f (x) # simplesmente mudando-o para o esquerda por # c # (claro se # c # é negativo, você deve mudar o gráfico original # | c | # para a direita.

Como exemplo, o gráfico para # y = f (x + 1) # pode ser encontrado empurrando o gráfico original para o esquerda por uma unidade:

enquanto que para # y = f (x-1) # envolve empurrando o gráfico original para o certo por uma unidade:

3) Dado o gráfico para # y = f (x) #, qual é o gráfico de #y = f (bx) # ?

Desde a #f (x) = f (b vezes x / b) # segue-se que se # (x, y) # é um ponto no #y = f (x) # gráfico, em seguida # (x / b, y) # é um ponto no # y = f (bx) # gráfico.

Isso significa que o gráfico original tem que ser espremido por um fator de # b # ao longo de # x # eixo. Claro, o aperto por # b # é realmente um alongamento por # 1 / b # para o caso em que # 0 <b <1 #

O gráfico para # y = f (2x) # é

Note que enquanto o tempo permanece o mesmo em 1, a largura encolhe por um fator de 2. Em particular, o pico da curva original mudou de # x = 1 # para # x = 1/2 #.

Por outro lado, o gráfico para # y = f (x / 2) # é

Note que este gráfico é duas vezes mais largo (apertar por #1/2# sendo o mesmo que alongamento por um fator de 2), e o pico também mudou de # x = 1 # para # x = 2 #.

Uma menção especial deve ser feita ao caso em que # b # é negativo. Talvez seja melhor então pensar nisso como um processo de duas etapas

• Primeiro encontre o gráfico de # y = f (-x) #, e depois
• espremer o gráfico resultante por # | b | #

Note que para cada ponto # (x, y) # do gráfico original, o ponto # (- x, y) # é um ponto no gráfico de # y = f (-x) # - Assim, o novo gráfico pode ser encontrado, refletindo o antigo sobre o # Y # eixo.

Como ilustração do processo de duas etapas, considere o gráfico # y = f (-2x) # mostrado abaixo:

Aqui a curva original, aquela para # y = f (x) # é primeiro invertido sobre o # Y # eixo para obter a curva para # y = f (-x) # (a linha ciano fina). Este é então espremido por um fator de #2# para obter a curva para # y = f (-2x) # - a curva roxa grossa.

4) Dado o gráfico para # y = f (x) #, qual é o gráfico de #y = af (x) # ?

O padrão é o mesmo aqui - se # (x, y) # é um ponto na curva original, então # (x, ay) # é um ponto no gráfico de # y = af (x) #

Isto significa que para um positivo #uma#, o gráfico é esticado por um fator de #uma# ao longo de # Y # eixo. Mais uma vez, um valor de #uma# entre 0 e 1 significa que, em vez de ser esticado, a curva será realmente comprimida por um fator de # 1 / a # ao longo de # Y # eixo.

A curva abaixo é para # y = 2f (x) #

Observe que enquanto o pico está no mesmo valor de # x # - a sua altura duplicou para 2 de 1. Claro que não é apenas o pico que foi esticado - o # y # A coordenada de cada ponto da curva original foi dobrada para obter a nova curva.

A figura abaixo ilustra a compressão que ocorre quando #0<>

Mais uma vez, o caso de #a <0 # toma cuidado especial - e é melhor se você fizer isso em duas etapas

1. Primeiro vire a curva de cabeça para baixo sobre o # X # eixo para obter a curva para # y = -f (x) #
2. Estique a curva # | a | # ao longo de # Y # eixo.

A curva para # y = -f (x) # é

enquanto a imagem abaixo ilustra os dois passos envolvidos no desenho da curva para #y = -2f (x) #

Colocando tudo junto

Agora que passamos pelas etapas individuais, vamos colocá-los todos juntos! O procedimento para desenhar a curva para

# y = a f (bx + c) + d #

começando a partir de # y = f (x) # é essencialmente composto pelos seguintes passos

1. Traçar a curva de # y = f (x + c) #: deslocar o gráfico à distância # c # para a esquerda
2. Em seguida, traçar o de #y = f (bx + c) #: espremer a curva que você começa a partir do passo 1 no # X # direção pelo fator # | b | #, (primeiro lançando sobre o # Y # eixo se #b <0 #)
3. Em seguida, traçar o gráfico de # y = af (bx + c) #: escala a curva que você obteve do passo 2 para um fator de #uma# na direção vertical.
4. Finalmente, empurre a curva que você obtém na etapa 3 à distância # d # para obter o resultado final.

É claro que você precisa realizar todos os quatro passos apenas em casos extremos - muitas vezes um número menor de etapas será suficiente! Além disso, a sequência de etapas é importante.

Caso você esteja se perguntando, estas etapas seguem a partir do fato de que se # (x, y) # é um ponto no # y = f (x) # gráfico, em seguida, o ponto

# ({x-c} / b, ay + d) # Está no # y = af (bx + c) + d # gráfico.

Deixe-me ilustrar o processo por um exemplo com a nossa função #f (x) #. Vamos tentar construir o gráfico para #y = -2f (2x + 3) + 1 #

Primeiro - o turno para a esquerda por 3 unidades

Então: aperte por um fator de 2 ao longo do # X # eixo

Então, invertendo o gráfico sobre o # X # eixo e, em seguida, dimensionamento por um fator de 2 ao longo # Y #

Finalmente, mudando a curva em 1 unidade - e estamos prontos!