Como eu poderia provar isso? Isso estaria usando um teorema da análise real?

# "Use a definição de derivado:" #

#f '(x) = lim_ {h-> 0} (f (x + h) - f (x)) / h #

# "Aqui temos" #

#f '(x_0) = lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - f (x_0)) / h #

#g '(x_0) = lim_ {h-> 0} (g (x_0 + h) - g (x_0)) / h #

# "Precisamos provar isso" #

#f '(x_0) = g' (x_0) #

#"ou"#

#f '(x_0) - g' (x_0) = 0 #

#"ou"#

#h '(x_0) = 0 #

# "com" h (x) = f (x) - g (x) #

#"ou"#

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h) - f (x_0) + g (x_0)) / h = 0 #

#"ou"#

#lim_ {h-> 0} (f (x_0 + h) - g (x_0 + h)) / h = 0 #

# "(devido a" f (x_0) = g (x_0) ")" #

#"Agora"#

#f (x_0 + h) <= g (x_0 + h) #

# => lim <= 0 "se" h> 0 "e" lim> = 0 "se" h <0 #

# "Fizemos a suposição de que feg são diferenciáveis" #

# "so" h (x) = f (x) - g (x) "também é diferenciável" #

# "então o limite da esquerda deve ser igual ao limite certo, então" #

# => lim = 0 #

# => h '(x_0) = 0 #

# => f '(x_0) = g' (x_0) #

Responda:

Fornecerei uma solução mais rápida que a do http://socratic.org/s/aQZyW77G. Para isso, teremos que confiar em alguns resultados familiares do cálculo.

Explicação:

Definir #h (x) = f (x) -g (x) #

Desde a #f (x) le g (x) #, temos #h (x) le 0 #

No # x = x_0 #, temos #f (x_0) = g (x_0) #, de modo a #h (x_0) = 0 #

portanto # x = x_0 # é um máximo da função diferenciável #h (x) # dentro o intervalo aberto # (a, b) #. portanto

#h ^ '(x_0) = 0 implica #

#f ^ '(x_0) -g ^' (x_0) implica #

#f ^ '(x_0) = g ^' (x_0) #