Para quais valores de x é f (x) = (- 2x) / (x-1) côncava ou convexa?

Responda:

Estude o sinal da 2ª derivada.

Para #x <1 # a função é côncava.

Para #x> 1 # a função é convexa.

Explicação:

Você precisa estudar a curvatura encontrando a segunda derivada.

#f (x) = - 2x / (x-1) #

A 1ª derivada:

#f '(x) = - 2 ((x)' (x-1) -x (x-1) ') / (x-1) ^ 2 #

#f '(x) = - 2 (1 * (x-1) -x * 1) / (x-1) ^ 2 #

#f '(x) = - 2 (x-1-x) / (x-1) ^ 2 #

#f '(x) = 2 * 1 / (x-1) ^ 2 #

O segundo derivado:

#f '' (x) = (2 * (x-1) ^ - 2) '#

#f '' (x) = 2 ((x-1) ^ - 2) '#

#f '' (x) = 2 * (- 2) (x-1) ^ - 3 #

#f '' (x) = - 4 / (x-1) ^ 3 #

Agora o sinal de #f '' (x) # deve ser estudado. O denominador é positivo quando:

# - (x-1) ^ 3> 0 #

# (x-1) ^ 3 <0 #

# (x-1) ^ 3 <0 ^ 3 #

# x-1 <0 #

#x <1 #

Para #x <1 # a função é côncava.

Para #x> 1 # a função é convexa.

Nota: o ponto # x = 1 # foi excluído porque a função #f (x) # não pode ser definido para # x = 1 #, já que o denumirator se tornaria 0.

Aqui está um gráfico para que você possa ver com seus olhos:

gráfico {(- 2x) / (x-1) -14,08, 17,95, -7,36, 8,66}