Em que intervalos a seguinte equação é côncava para cima, côncava para baixo e onde o ponto de inflexão é (x, y) f (x) = x ^ 8 (ln (x))?

Responda:

• E se # 0 <x <e ^ (- 15/56) # então # f # é côncavo para baixo;
• E se #x> e ^ (- 15/56) # então # f # é côncavo para cima;
• # x = e ^ (- 15/56) # é um ponto de inflexão

Explicação:

Analisar os pontos de concavidade e inflexão de uma função duas vezes diferenciável # f #, podemos estudar a positividade da segunda derivada. De fato, se # x_0 # é um ponto no domínio da # f #, então:

• E se #f '' (x_0)> 0 #, então # f # é côncavo para cima em um bairro de # x_0 #;
• E se #f '' (x_0) <0 #, então # f # é côncavo para baixo em um bairro de # x_0 #;
• E se #f '' (x_0) = 0 # e o sinal de #f '' # em uma vizinhança direita suficientemente pequena de # x_0 # é oposto ao sinal de #f '' # em uma vizinhança esquerda suficientemente pequena # x_0 #, então # x = x_0 # é chamado de ponto de inflexão do # f #.

No caso específico de #f (x) = x ^ 8 ln (x) #, temos uma função cujo domínio tem que ser restrito aos reais positivos #RR ^ + #.

A primeira derivada é

#f '(x) = 8x ^ 7 ln (x) + x ^ 8 1 / x = x ^ 7 8 ln (x) +1 #

A segunda derivada é

#f '' (x) = 7x ^ 6 8 ln (x) +1 + x ^ 7 8 / x = x ^ 6 56 ln (x) +15 #

Vamos estudar a positividade de #f '' (x) #:

• # x ^ 6> 0 iff x ne 0 #
• # 56ln (x) +15> 0 iff ln (x)> -15/56 iff x> e ^ (- 15/56) #

Então, considerando que o domínio é #RR ^ + #, nós entendemos isso

• E se # 0 <x <e ^ (- 15/56) # então #f '' (x) <0 # e # f # é côncavo para baixo;
• E se #x> e ^ (- 15/56) # então #f '' (x)> 0 # e # f # é côncavo para cima;
• E se # x = e ^ (- 15/56) # então #f '' (x) = 0 #. Considerando que à esquerda deste ponto #f '' # é negativo e à direita é positivo, concluímos que # x = e ^ (- 15/56) # é um ponto de inflexão