Uma bola cai diretamente de uma altura de 12 pés. Ao bater no chão, ele volta 1/3 da distância que caiu. Até onde a bola viajará (tanto para cima quanto para baixo) antes de parar?

Responda:

A bola vai viajar 24 pés.

Explicação:

Esse problema requer a consideração de séries infinitas. Considere o comportamento real da bola:

Primeiro a bola cai 12 pés.

Em seguida a bola quica #12/3 = 4# pés.

A bola cai então os 4 pés.

Em cada salto sucessivo, a bola viaja

# 2 * 12 / (3 ^ n) = 24/3 ^ n # pés, onde # n # é o número de rejeições

Assim, se imaginarmos que a bola começa de #n = 0 #, então a nossa resposta pode ser obtida a partir da série geométrica:

# sum_ (n = 0) ^ infty 24/3 ^ n - 12 #

Note o #-12# termo de correção, isso é porque se começarmos de # n = 0 # estamos contando um 0º salto de 12 pés para cima e 12 pés para baixo. Na realidade, a bola só percorre metade disso, quando começa no ar.

Podemos simplificar nossa soma para:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 #

Esta é apenas uma série geométrica simples, que segue a regra de que:

#lim_ (n-> infty) sum_ (i = 0) ^ n r ^ i = 1 / (1 - r) #

Enquanto # | r | <1 #

Isso produz uma solução simples para o nosso problema:

# 24sum_ (n = 0) ^ infty 1/3 ^ n - 12 = 24 * 1 / (1-1 / 3) - 12 #

# = 24*1/(2/3) - 12 = 24*3/2 -12 #

#= 36 - 12 = 24# pés.