Você me ajudaria? int_0 ^ (pi / 2) (e ^ (2x) * sinx) dx

Responda:

# = (2e ^ (pi) +1) / 5 #

Explicação:

isso requer integração por partes como segue. Os limites serão omitidos até o final

#int (e ^ (2x) sinx) dx #

#color (vermelho) (I = intu (dv) / (dx) dx) = uv-intv (du) / (dv) dx #

# u = e ^ (2x) => du = 2e ^ (2x) dx #

# (dv) / (dx) = sinx => v = -cosx #

#color (vermelho) (I) = - e ^ (2x) cosx + int2e ^ (2x) cosxdx #

a segunda integral também é feita por partes

# u = 2e ^ (2x) => du = 4e ^ (2x) dx #

# (dv) / (dx) = cosx => v = sinx #

#color (vermelho) (I) = - e ^ (2x) cosx + 2e ^ (2x) sinx-int4e ^ (2x) sinxdx #

#color (vermelho) (I) = - e ^ (2x) cosx + 2e ^ (2x) sinx-4 cores (vermelho) (I) #

#:. 5I = e ^ (2x) (2sinx-cosx) #

# I = (e ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 #

agora coloque os limites em

#I = (e ^ (2x) (2sinx-cosx)) / 5 _0 ^ (pi / 2) #

# = (e ^ pi ((2sin (pi / 2) -cos (pi / 2))) / 5) - (e ^ (0) (sin0-cos0) / 5) #

# 1 / 5e ^ pi 2-0 +1/5 -0 + 1 #

# = (2e ^ (pi) +1) / 5 #

Responda:

# {2e ^ pi + 1} / 5 #

Explicação:

Embora a resposta já fornecida seja perfeita, eu só queria apontar uma maneira mais fácil de chegar à mesma resposta usando uma abordagem um pouco mais avançada - que via números complexos.

Nós começamos com a famosa relação

# e ^ {ix} = cos (x) + i sin (x) #

Onde # i = sqrt {-1} #e observe que isso significa que

#sin (x) = Im (e ^ {ix}) implica e ^ {2x} sen (x) = Im (e ^ {(2 + i} x)) #

Onde #Eu estou# denota a parte imaginária.

assim

# int_0 ^ {pi / 2} e ^ {2x} sen (x) dx = Im (int_0 ^ {pi / 2} e ^ {(2 + i) x} dx) #

# = Im (e ^ {(2 + i) x} / {2 + i} | _0 ^ {pi / 2}) = Im ({e ^ pi e ^ {ipi / 2} -1} / {2+ Eu})#

# = Im ({ie ^ pi -1} / {2 + i} vezes {2-i} / {2-i}) = 1/5 Im ((- 1 + ie ^ pi) (2-i)) #

# = 1/5 ((- 1) vezes (-1) + e ^ pi vezes 2) = {2e ^ pi + 1} / 5 #