Qual é a inclinação da linha tangente de r = (sin ^ 2theta) / (- thetacos ^ 2theta) em teta = (pi) / 4?

Responda:

A inclinação é #m = (4 - 5pi) / (4 - 3pi) #

Explicação:

Aqui está uma referência para tangentes com coordenadas polares

A partir da referência, obtemos a seguinte equação:

# dy / dx = ((dr) / (dteta) sen (teta) + rcos (teta)) / ((dr) / (d teta) cos (teta) - rsin (teta)) #

Nós precisamos calcular # (dr) / (d teta) # mas por favor observe que #r (teta) # pode ser simplificado usando a identidade #sin (x) / cos (x) = tan (x) #:

#r = -tan ^ 2 (theta) / theta #

# (dr) / (dteta) = (g (teta) / (h (teta))) '= (g' (teta) h (teta) - h '(teta) g (teta)) / (h (teta)) ^ 2 #

#g (theta) = -tan ^ 2 (teta) #

#g '(theta) = -2tan (theta) sec ^ 2 (teta) #

#h (theta) = theta #

#h '(theta) = 1 #

# (dr) / (dteta) = (-2thetatan (theta) sec ^ 2 (teta) + tan ^ 2 (teta)) / (teta) ^ 2 #

Vamos avaliar o acima em # pi / 4 #

# seg ^ 2 (pi / 4) = 2 #

#tan (pi / 4) = 1 #

#r '(pi / 4) = (-2 (pi / 4) (1) (2) + 1) / (pi / 4) ^ 2 #

#r '(pi / 4) = (-2 (pi / 4) (1) (2) + 1) (16 / (pi ^ 2)) #

#r '(pi / 4) = (16- 16pi) / (pi ^ 2) #

Avalie r em # pi / 4 #:

#r (pi / 4) = -4 / pi = - (4pi) / pi ^ 2 #

Nota: Eu fiz o denominador acima # pi ^ 2 # de modo que era comum com o denominador de # r '# e, portanto, cancelaria quando os colocássemos na seguinte equação:

# dy / dx = ((dr) / (dteta) sen (teta) + rcos (teta)) / ((dr) / (d teta) cos (teta) - rsin (teta)) #

No # pi / 4 # os senos e cossenos são iguais, portanto, eles cancelarão.

Estamos prontos para escrever uma equação para a inclinação, m:

#m = (16 - 16pi + -4pi) / (16 - 16pi - -4pi) #

#m = (4 - 5pi) / (4 - 3pi) #