Qual é a forma padrão da equação da parábola com foco em (2, -5) e uma diretriz de y = 6?

Responda:

#y = -1 / 18x ^ 2 + 2 / 9x-5/18 larr # esta é uma forma padrão.

Explicação:

Como a diretriz é horizontal, sabemos que a parábola se abre ou desce e a forma do vértice de sua equação é:

#y = a (x-h) ^ 2 + k "1" #

Sabemos que a coordenada x do vértice, h, é o mesmo que a coordenada x do foco:

#h = 2 #

Substitua isso pela equação 1:

#y = a (x-2) ^ 2 + k "2" #

Sabemos que a coordenada y do vértice, k, é o ponto médio entre o foco e a diretriz:

#k = (y_ "foco" + y_ "diretriz") / 2 #

#k = (-5 + 6) / 2 #

#k = -1 / 2 #

Substitua isso pela equação 2:

#y = a (x-2) ^ 2-1 / 2 "3" #

Seja f = a distância vertical do vértice até o foco.

#f = -5 - (- 1/2) #

#f = -9 / 2 #

Podemos usar isso para encontrar o valor de "a":

#a = 1 / (4 (f)) #

#a = 1 / (4 (-9/2) #

#a = -1 / 18 #

Substitua isso pela equação 3:

#y = -1/18 (x-2) ^ 2-1 / 2 #

Expanda o quadrado:

#y = -1/18 (x ^ 2-4x + 4) -1 / 2 #

Use a propriedade distributiva:

#y = -1 / 18x ^ 2 + 2 / 9x + 2 / 9-1 / 2 #

Combine os termos constantes:

#y = -1 / 18x ^ 2 + 2 / 9x-5/18 larr # esta é uma forma padrão.