Qual é a diferença entre o Teorema do Valor Intermediário e o Teorema do Valor Extremo?

Responda:

O Teorema do Valor Intermediário (IVT) diz funções que são contínuas em um intervalo # a, b # assumir todos os valores (intermediários) entre seus extremos. O Teorema do Valor Extremo (EVT) diz funções que são contínuas # a, b # atingir seus valores extremos (alto e baixo).

Explicação:

Aqui está uma declaração do EVT: Let # f # ser contínuo em # a, b #. Então existem números # c, d in a, b # de tal modo que #f (c) leq f (x) leq f (d) # para todos #x in a, b #. Dito de outra maneira, o "supremo" # M # e "infimum" # m # do intervalo # {f (x): x em a, b } # existem (são finitos) e existem números # c, d in a, b # de tal modo que #f (c) = m # e #f (d) = M #.

Note que a função # f # deve ser contínuo em # a, b # para a conclusão de segurar. Por exemplo, se # f # é uma função tal que #f (0) = 0,5 #, #f (x) = x # para #0<>e #f (1) = 0,5 #, então # f # não atinge valor máximo ou mínimo #0,1#. (O supremo e o mínimo do intervalo existem (são 1 e 0, respectivamente), mas a função nunca atinge (nunca é igual a) esses valores.)

Note também que o intervalo deve ser fechado. A função #f (x) = x # não atinge valor máximo ou mínimo no intervalo aberto #(0,1)#. (Mais uma vez, o supremo e o mínimo do intervalo existem (são 1 e 0, respectivamente), mas a função nunca atinge (nunca é igual a) esses valores.)

A função #f (x) = 1 / x # também não atinge um valor máximo ou mínimo no intervalo aberto #(0,1)#. Além disso, o supremo da faixa nem sequer existe como um número finito (é "infinito").

Aqui está uma declaração do IVT: Deixe # f # ser contínuo em # a, b # e suponha #f (a)! = f (b) #. E se # v # é qualquer número entre #f (a) # e #f (b) #, então existe um número #c in (a, b) # de tal modo que #f (c) = v #. Além disso, se # v # é um número entre o supremo e o mais baixo da faixa # {f (x): x em a, b} #, então existe um número #c in a, b # de tal modo que #f (c) = v #.

Se você desenha imagens de várias funções descontínuas, fica claro por que # f # precisa ser contínuo para que o IVT seja verdadeiro.