Qual é a raiz quadrada de sqrt ((y ^ 2 - z ^ 2) (z ^ 2 - x ^ 2)) + sqrt ((z ^ 2 - x ^ 2) (x ^ 2 - y ^ 2)) + sqrt ((x ^ 2 - y ^ 2) (y ^ 2 - z ^ 2))?

Responda:

#sqrt (2) / 2 (sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) #

forneceu pelo menos duas das seguintes

# x ^ 2> = y ^ 2 "" y ^ 2> = z ^ 2 "" z ^ 2> = x ^ 2 #

Explicação:

Observe que:

# (x ^ 2-y ^ 2) + (y ^ 2-z ^ 2) + (z ^ 2-x ^ 2) #

# = cor (vermelho) (cancelar (cor (preto) (x ^ 2))) - cor (vermelho) (cancelar (cor (preto) (x ^ 2))) + cor (roxo) (cancelar (cor (preto)) (y ^ 2))) - cor (roxo) (cancelar (cor (preto) (y ^ 2))) + cor (violeta) (cancelar (cor (preto) (z ^ 2))) - cor (violeta) (cancelar (cor (preto) (z ^ 2))) = 0 #

Então, vamos ver o que acontece quando fazemos um quadrado:

#sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2) #

como os termos ao quadrado serão cancelados …

# (sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) ^ 2 #

# = (sqrt (x ^ 2-y ^ 2)) ^ 2+ (sqrt (y ^ 2-z ^ 2)) ^ 2+ (sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) ^ 2 + 2sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + 2sqrt ((z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-y ^ 2)) + 2sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

# = cor (vermelho) (cancelar (cor (preto) ((x ^ 2-y ^ 2) + (y ^ 2-z ^ 2) + (z ^ 2-x ^ 2)))) + 2sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + 2sqrt ((z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-y ^ 2)) + 2sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

# = 2 (sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + sqrt ((z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-y ^ 2)) + sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2))) #

Então a raiz quadrada que queremos é:

#sqrt (2) / 2 (sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) #

#cor branca)()#

Notas

A resposta acima, mais ou menos, assume que:

#sqrt (a) sqrt (b) = sqrt (ab) #

Enquanto isso acontece se pelo menos um dos #a, b # não é negativo, falha se ambos forem negativos.

Isso pode acontecer na derivação acima se, por exemplo:

# 0 <x ^ 2 <y ^ 2 <z ^ 2 #

Então encontramos:

#sqrt (x ^ 2-y ^ 2) sqrt (y ^ 2-z ^ 2) = -sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

… o sinal oposto do que precisamos.