X ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 tem uma raiz x = sqrt (2) + sqrt (3). Quais são as outras três raízes e por quê?

Responda:

As outras três raízes são #x = sqrt (2) -sqrt (3) #, #x = -sqrt (2) + sqrt (3) # e #x = -sqrt (2) -sqrt (3) #. Quanto ao porquê, deixe-me contar uma história …

Explicação:

Sr. Rational vive na cidade de Álgebra.

Ele conhece todos os números da forma # m / n # Onde # m # e # n # são inteiros e #n! = 0 #.

Ele é muito feliz resolvendo polinômios como # 3x + 8 = 0 # e # 6x ^ 2-5x-6 = 0 #, mas há muitos que o confundem.

Mesmo um polinômio aparentemente simples como # x ^ 2-2 = 0 # parece insolúvel.

Seu vizinho rico, o senhor Real, tem pena dele. "O que você precisa é o que é chamado de raiz quadrada de #2#. Aqui está. "Com estas palavras, o Sr. Real entrega um misterioso número azul brilhante chamado # R_2 # para o Sr. Rational. Tudo o que ele é dito sobre esse número é que # R_2 ^ 2 = 2 #.

Sr. Rational volta para o seu estudo e tem um jogo com este misterioso # R_2 #.

Depois de um tempo ele descobre que pode adicionar, subtrair, multiplicar e dividir números da forma # a + b R_2 # Onde #uma# e # b # são racionais e acabam com números da mesma forma. Ele também percebe que # x ^ 2-2 = 0 # tem outra solução, a saber # -R_2 #.

Ele agora é capaz de resolver não apenas # x ^ 2-2 = 0 #, mas # x ^ 2 + 2x-1 = 0 # e muitos outros.

Muitos outros polinômios ainda evitam a solução. Por exemplo, # x ^ 2-3 = 0 #, mas o Sr. Real está feliz em dar-lhe um número verde brilhante chamado # R_3 # que resolve aquele.

Sr. Rational logo descobre que ele pode expressar todos os números que ele pode fazer como # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 #, Onde #uma#, # b #, # c # e # d # são racionais.

Um dia, o senhor Rational resolveu resolver # x ^ 4-10x ^ 2 + 1 = 0 #. Ele acha isso # x = R_2 + R_3 # é uma solução.

Antes de procurar mais soluções, ele esbarra em seu vizinho, o sr. Real. Ele agradece ao Sr. Real pelo presente de # R_2 # e # R_3 #, mas tem uma consulta sobre eles. "Eu esqueci de perguntar:", ele diz, "Eles são positivos ou negativos?". "Eu não achei que você se importaria", disse o Sr. Real. "Desde que você esteja resolvendo polinômios com coeficientes racionais, isso realmente não importa. As regras que você encontrou para adicionar, subtrair, multiplicar e dividir seus novos números funcionam tão bem quanto qualquer um deles. Na verdade, acho que você chamado # R_2 # é o que a maioria das pessoas chama # -sqrt (2) # e aquele que você chamou # R_3 # é o que a maioria das pessoas chama #sqrt (3) #'.

Então, para os novos números do Sr. Rational da forma # a + b R_2 + c R_3 + d R_2 R_3 # não importa se # R_2 # e / ou # R_3 # são positivos ou negativos do ponto de vista da resolução de polinômios com coeficientes racionais.