Como você encontra o volume do sólido gerado girando a região limitada pelas curvas y = x ^ (2) -x, y = 3-x ^ (2) girado sobre y = 4?

Responda:

# V = 685 / 32pi # unidades cúbicas

Explicação:

Primeiro, esboce os gráficos.

# y_1 = x ^ 2-x #

# y_2 = 3-x ^ 2 #

# x #-interceptar

# y_1 = 0 => x ^ 2-x = 0 # E nós temos isso # {(x = 0), (x = 1):} #

Então as interceptações são #(0,0)# e #(1,0)#

Obter o vértice:

# y_1 = x ^ 2-x => y_1 = (x-1/2) ^ 2-1 / 4 => y_1 - (- 1/4) = (x-1/2) ^ 2 #

Então o vértice está em #(1/2,-1/4)#

Repetir anterior:

# y_2 = 0 => 3-x ^ 2 = 0 # E nós temos isso # {(x = sqrt (3)), (x = -sqrt (3)):} #

Então as interceptações são # (sqrt (3), 0) # e # (- sqrt (3), 0) #

# y_2 = 3-x ^ 2 => y_2-3 = -x ^ 2 #

Então o vértice está em #(0,3)#

Resultado:

Como conseguir o volume? Nós usaremos o método de disco!

Este método é simplesmente isso: # "Volume" = piint_a ^ por ^ 2dx #

A ideia é simples, mas você precisa usá-la de maneira inteligente.

E é isso que vamos fazer.

Vamos chamar nosso volume # V #

# => V = V_1-V_2 #

# V_1 = piint_a ^ b (4-y_1) ^ 2dx #

# V_2 = piint_a ^ b (4-y_2) ^ 2dx #

NB: estou levando # (4-y) # Porque # y # é apenas a distância do # x #-axis para a curva, enquanto nós queremos a distância da linha # y = 4 # para a curva!

Agora para encontrar #uma# e # b #, nós igualamos # y_1 # e # y_2 # e depois resolver # x #

# y_1 = y_2 => 2x ^ 2-x + 3 = 0 #

# => 2x ^ 2 + 2x-3x + 3 = 0 #

# => (2x-3) (x + 1) = 0 => {(x = 3/2 = 1,5), (x = -1):} #

Desde a #uma# vem antes # b #, # => a = -1 # e # b = 1.5 #

# => V_1 = piint _ (- 1) ^ (1.5) (4-y_1) ^ 2dx = pi int_-1 ^ 1.5 (4-x ^ 2-x) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1.5) (x ^ 2 + x-4) ^ 2dx #

# => piint (-1) ^ (1.5) (x ^ 4 + 3x ^ 3-7x ^ 2-8x + 16) dx = pi x ^ 5/5 + x ^ 4 / 2- (7x ^ 3) /3-4x^2+16x_-1^1.5#

# V_1 = (685pi) / 24 #

Faça o mesmo para # V_2 #:

# V_2 = piint_-1 ^ 1.5 (4-y_2) ^ 2dx = piint_-1 ^ 1.5 (4-3 + x ^ 2) ^ 2dx = piint _ (- 1) ^ (1.5) (1 + x-4) ^ 2dx #

# => piint (-1) ^ (1.5) (1 + 2x ^ 2 + x ^ 4) dx = pi x + (2x ^ 3) / 3 + x ^ 5/5 _- 1 ^ 1,5 #

# V_1 = (685pi) / 96 #

# V = V_1-V_2 = 685 / 24-685 / 96 = cor (azul) ((685pi) / 32) #