Seja vec (x) um vetor, tal que vec (x) = ( 1, 1), "e seja" R (θ) = [(costheta, -sintheta), (sintheta, costheta)], que é Rotation Operador. Para theta = 3 / 4pi encontrar vec (y) = R (teta) vec (x)? Faça um esboço mostrando x, y e θ?

Isso acaba por ser uma rotação no sentido anti-horário. Você consegue adivinhar quantos graus?

Deixei # T: RR ^ 2 | -> RR ^ 2 # ser uma transformação linear, onde

# T (vecx) = R (teta) vecx, #

#R (theta) = (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta), #

#vecx = << -1,1 >>. #

Note que esta transformação foi representada como o matriz de transformação #R (teta) #.

O que isso significa é desde # R # é a matriz de rotação que representa a transformação rotacional, podemos multiplicar # R # por # vecx # para realizar essa transformação.

# (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta) xx << -1,1 >> #

Para um # MxxK # e # KxxN # matriz, o resultado é um #color (verde) (MxxN) # matriz, onde # M # é o linha dimensão e # N # é o coluna dimensão. Isso é:

# (y_ (11), y_ (12),., y_ (1n)), (y_ (21), y_ (22), …, y_ (2n)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (y_ (m1), y_ (m2), …, y_ (mn)) #

# = (R_ (11), R_ (12),…, R_ (1k)), (R_ (21), R_ (22), …, R_ (2k)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (R_ (m1), R_ (m2), …, R_ (mk)) xx (x_ (11), x_ (12), …, x_ (1n)), (x_ (21), x_ (22), …, x_ (2n)), (vdots, vdots, ddots, vdots), (x_ (k1), x_ (k2), …, x_ (kn)) #

Portanto, para um # 2xx2 # matriz multiplicada por um # 1xx2 #, temos que transpor o vetor para obter um # 2xx1 # coluna vector, dando-nos uma resposta que é um # mathbf (2xx1) # vetor de coluna.

Multiplicando estes dois dá:

# (costheta, -sintheta), (sintheta, costheta) xx (- 1), (1) #

# = (-costheta - sintheta), (- sintheta + costheta) #

Em seguida, podemos ligar #theta = (3pi) / 4 # (que eu estou supondo que é o ângulo correto) para obter:

#color (azul) (T (vecx) = R (teta) vecx) #

# = R (teta) (- 1), (1) #

# = (-cos ((3pi) / 4) - sin ((3pi) / 4)), (- sin ((3pi) / 4) + cos ((3pi) / 4)) #

# = (-cos135 ^ @ - sin135 ^ @), (- sin135 ^ @ + cos135 ^ @) #

# = (- (- sqrt2 / 2) - sqrt2 / 2), (- sqrt2 / 2 + (-sqrt2 / 2)) #

# = cor (azul) ((0), (- sqrt2) #

Agora, vamos mapear isso para ver como isso se parece. Eu posso dizer que é um rotação anti-horária, depois de determinar o vetor transformado.

De fato, uma rotação no sentido anti-horário #135^@#.

DESAFIO: Talvez você possa considerar o que acontece quando a matriz é # (costheta, sintheta), (- sintheta, costheta) # em vez de. Você acha que será no sentido horário?