Matematicamente derivar as raízes da cor (branco) ("d") y = x ^ 3-3x-1 = 0?

Responda:

#x = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # para #n = 0, 1, 2 #

Explicação:

Dado:

# x ^ 3-3x-1 = 0 #

Substituição trigonométrica

Desde que este cúbico tem #3# zeros reais, o método de Cardano resultará em expressões envolvendo raízes cúbicas irredutíveis de números complexos. O método de Cardano não está errado, mas não é muito amigável, a menos que as raízes cúbicas tenham uma forma simples.

Como alternativa, nesses casos, eu escolheria usar uma substituição trigonométrica.

Deixei:

#x = k cos theta #

O truque é escolher #k # tal que a expressão resultante contém # 4 cos ^ 3 teta - 3 cos teta = cos 3 teta #.

Nós temos:

# 0 = x ^ 3-3x-1 #

#color (branco) (0) = k ^ 3 cos ^ 3 teta - 3k cos teta - 1 #

#color (branco) (0) = k (k ^ 2 cos ^ 3 teta - 3 cos teta) - 1 #

#color (branco) (0) = 2 (4 cos ^ 3 teta - 3 cos teta) - 1 "" # com # k = 2 #

#color (branco) (0) = 2cos 3theta - 1 #

Assim:

#cos 3 theta = 1/2 #

Assim:

# 3 theta = + -pi / 3 + 2npi "" # para qualquer inteiro # n #

Assim:

#theta = + -pi / 9 + (2npi) / 3 "" # para qualquer inteiro # n #

Isso vai dar #3# valores possíveis distintos de #x = k cos theta #…

#x = 2 cos theta = 2 cos (pi / 9 + (2npi) / 3) "" # para #n = 0, 1, 2 #.