Como você integraria int_1 ^ e 1 / (x sqrt (ln ^ 2x)) dx?

Responda:

Esta integral não existe.

Explicação:

Desde a #ln x> 0 # no intervalo # 1, e #, temos

#sqrt {ln ^ 2 x} = | ln x | = ln x #

aqui, para que a integral se torne

# int_1 ^ e dx / {x ln x} #

Substituto #ln x = u #, então # dx / x = du # de modo a

# int_1 ^ e dx / {x ln x} = int_ {ln 1} ^ {ln e} {du} / u = int_0 ^ 1 {du} / u #

Esta é uma integral imprópria, já que o integrando diverge no limite inferior. Isso é definido como

#lim_ {l -> 0 ^ +} int_l ^ 1 {du} / u #

se isso existe. Agora

#int_l ^ 1 {du} / u = ln 1 - ln l = -ln l #

desde que isso diverge no limite #l -> 0 ^ + #, a integral não existe.

Responda:

# pi / 2 #

Explicação:

A integral # int_1 ^ e ("d" x) / (xsqrt (1-ln ^ 2 (x)) #.

Substituir primeiro # u = ln (x) # e # "d" u = ("d" x) / x #.

Assim, nós temos

#int_ (x = 1) ^ (x = e) ("d" u) / sqrt (1-u ^ 2) #

Agora, substituto # u = sin (v) # e # "d" u = cos (v) "d" v #.

Então, #int_ (x = 1) ^ (x = e) (cos (v)) / (sqrt (1-pecado ^ 2 (v))) "d" v = int_ (x = 1) ^ (x = e) "d" v # Desde a # 1-sin ^ 2 (v) = cos ^ 2 (v) #.

Continuando, nós temos

# v _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (u) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (x)) _ (x = 1) ^ (x = e) = arcsin (ln (e)) - arcsin (ln (1)) = pi / 2-0 = pi / 2 #