Como você encontra todas as soluções de 2cos ^ 2x-sinx-1 = 0?

# 2 cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # para

#x em {(3pi) / 2 + 2npi, pi / 6 + 2npi, (5pi) / 6 + 2npi} # Onde #n em ZZ #

Resolver: # 2cos ^ 2 x - sin x - 1 = 0 # (1)

Primeiro, substitua # cos ^ 2 x # por # (1 - pecado ^ 2 x) #

# 2 (1 - sin ^ 2 x) - sin x - 1 = 0 #.

Ligar # sin x = t #, temos:

# -2t ^ 2 - t + 1 = 0 #.

Esta é uma equação quadrática da forma # at ^ 2 + bt + c = 0 # Isso pode ser resolvido por atalho:

#t = (-b + - sqrt (b ^ 2 -4ac)) / (2a) #

ou factoring para # - (2t-1) (t + 1) = 0 #

Uma raiz real é # t_1 = -1 # e o outro é # t_2 = 1/2 #.

Em seguida, resolva as duas funções trigonométricas básicas:

# t_1 = sin x_1 = -1 #

# rarr # # x_1 = pi / 2 + 2npi # (para #n em ZZ #)

e

# t_2 = sin x_2 = 1/2 #

# rarr # # x_2 = pi / 6 + 2npi #

ou

# rarr # # x_2 = (5pi) / 6 + 2npi #

Verifique com a equação (1):

#cos (3pi / 2) = 0; pecado (3pi / 2) = -1 #

#x = 3pi / 2 rarr 0 + 1 - 1 = 0 # (corrigir)

#cos (pi / 6) = (sqrt 3) / 2 rarr 2 * cos ^ 2 (pi / 6) = 3/2; pecado (pi / 6) = 1/2 #.

#x = pi / 6 rarr 3/2 - 1/2 - 1 = 0 # (corrigir)