Como você encontra o terceiro grau de polinômio de Taylor para f (x) = ln x, centralizado em a = 2?

Responda:

#ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3 #.

Explicação:

A forma geral de uma expansão de Taylor centrada em #uma# de uma função analítica # f # é #f (x) = sum_ {n = 0} ^ oof ^ ((n)) (a) / (n!) (x-a) ^ n #. Aqui #f ^ ((n)) # é o enésimo derivado de # f #.

O terceiro grau de polinômio de Taylor é um polinômio que consiste dos quatro primeiros (# n # variando de #0# para #3#) termos da expansão total de Taylor.

Portanto, este polinômio é #f (a) + f '(a) (x-a) + (f' '(a)) / 2 (x-a) ^ 2 + (f' '' (a)) / 6 (x-a) ^ 3 #.

#f (x) = ln (x) #, assim sendo #f '(x) = 1 / x #, #f '' (x) = - 1 / x ^ 2 #, #f '' '(x) = 2 / x ^ 3 #. Então, o terceiro grau do polinômio de Taylor é:

#ln (a) + 1 / a (x-a) -1 / (2a ^ 2) (x-a) ^ 2 + 1 / (3a ^ 3) (x-a) ^ 3 #.

Agora temos # a = 2 #, então temos o polinômio:

#ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3 #.