Responda:
#(-9/14,3/28)#
Explicação:
Nós começamos com # y = 3 (x + 1) ^ 2 + 4x ^ 2 + 3x #. Isso não está na forma padrão nem na forma de vértice, e eu sempre prefiro trabalhar com uma dessas duas formas. Então, meu primeiro passo é converter essa bagunça acima em forma padrão. Fazemos isso mudando a equação até parecer # y = ax ^ 2 + bx + c #.
Primeiro, lidamos com # (x + 1) ^ 2 #. Nós reescrevemo-lo como # (x + 1) * (x + 1) #e simplificar o uso da distribuição, o que nos dá # x ^ 2 + x + x + 1 #ou # x ^ 2 + 2x + 1 #.
Agora temos # 3 (x ^ 2 + 2x + 1) + 4x ^ 2 + 3x #. Se simplificarmos # 3 (x ^ 2 + 2x + 3) #, isso nos deixa # 3x ^ 2 + 6x + 3 + 4x ^ 2 + 3x #. Agora podemos combinar termos semelhantes. # 3x ^ 2 + 4x ^ 2 # nos dá # 7x ^ 2 #e # 6x + 3x # é igual a # 9x #. Agora temos # 7x ^ 2 + 9x + 3 #, que está em forma padrão. Não fique muito confortável, porque estaremos convertendo naquela em forma de vértice em apenas um minuto.
Para resolver a forma do vértice, vamos completar o quadrado. Poderíamos também usar a fórmula quadrática ou representar graficamente a equação que temos agora, mas onde está a graça disso? Completar o quadrado é mais difícil, mas é um método que vale a pena aprender porque é bastante rápido, uma vez que você pega o jeito. Vamos começar.
Primeiro, precisamos conseguir # x ^ 2 # por si só (sem coeficientes, exceto pelo número #1# permitido). No nosso caso, precisamos fatorar um #7# de tudo. Isso nos dá # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 3/7) #. A partir daqui, precisamos tomar o termo do meio # (9 / 7x) # e dividir o coeficiente por #2#, qual é #9/14#. Então nós esquecemos naquela e nós temos #81/196#. Acrescentamos isso à nossa equação, assim: # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81/196 + 3/7) #.
ESPERAR!!! Nós apenas colocamos um número aleatório na equação! Nós não podemos fazer isso! Como podemos consertar isso? Bem, e se nós apenas … subtraímos o número que acabamos de adicionar? Então o valor não mudou #(81/196-81/196=0)#, então não quebramos nenhuma regra, certo? Ok, vamos fazer isso.
Agora temos # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81 / 196-81 / 196 + 3/7) #. Ok, estamos bem agora. Ainda assim, devemos continuar simplificando, porque # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81 / 196-81 / 196 + 3/7) # é longo e pesado. Assim, #-81/196+3/7# é #3/196#e podemos reescrever # x ^ 2 + 9 / 7x + 81/196 # Como # (x + 9/14) * (x + 9/14) #ou # (x + 9/14) ^ 2 #. Você pode estar se perguntando por que eu não combinei #3/196# com #81/196#. Bem, eu quero criar um quadrado perfeito, como # (x + 9/14) ^ 2 #. Isso é realmente o objetivo de completar o quadrado. # x ^ 2 + 9/7 + 3/7 # não foi factorable, então eu encontrei o número ((9/2) / 2 ^ 2) que o torna fatorable. Agora temos um quadrado perfeito, com o material inconveniente e imperfeito colado no final.
Então, agora temos # 7 ((x + 9/14) ^ 2 + 3/196) #. Estamos quase terminando, mas ainda podemos fazer mais uma coisa: distribuir o #7# para #3/196#. Isso nos dá # 7 (x + 9/14) ^ 2 + 3/28 #e agora temos nosso vértice! De # 7 (x + cor (verde) (9/14)) ^ 2color (vermelho) (+ 3/28) #, nós temos nossos dois #color (verde) (x) #-valor e nossa #color (vermelho) (y) #-valor. Nosso vértice é # (cor (laranja) (-) cor (verde) (9/14), cor (vermelho) (3/28)) #. Por favor note que o sinal do #color (verde) (x) # componente é oposto do sinal dentro da equação.
Para verificar o nosso trabalho, podemos apenas representar graficamente a equação e encontrar o vértice dessa maneira.
gráfico {y = 7x ^ 2 + 9x + 3}
O vértice é #(.643,.107)#, que é a forma decimal arredondada de #(-9/14, 3/28)#. Nós estávamos certos! Bom trabalho.
