O valor do pecado (2cos ^ (- 1) (1/2)) é o que?

Responda:

#sin 2 arccos (1/2) = pm sqrt {3} / 2 #

Explicação:

Não importa se é feito em graus ou radianos.

Vamos tratar o cosseno inverso como multivalorado. Claro que um cosseno de #1/2# é um dos dois triângulos de trigonometria cansados.

#arccos (1/2) = pm 60 ^ circ + 360 ^ circ k quad # inteiro #k #

Dobrar isso, # 2 arccos (1/2) = pm 120 ^ circ #

assim #sin 2 arccos (1/2) = pm sqrt {3} / 2 #

Mesmo quando os redatores de perguntas não precisam usar 30/60/90, eles fazem. Mas vamos fazer

#sin 2 arccos (a / b) #

Nós temos #sin (2a) = 2 sin a cos a # assim

#sin 2 arccos (a / b) = 2 sin arccos (a / b) cos arccos (a / b) #

#sin 2 arccos (a / b) = {2a} / b sin arccos (a / b) #

Se o cosseno é # a / b # esse é um triângulo retângulo com adjacente #uma# e hipotenusa # b #tão oposta #pm sqrt {b ^ 2-a ^ 2}. #

#sin 2 arccos (a / b) = {2a} / cdot (pm sqrt {b ^ 2-a ^ 2}) / b #

#sin 2 arccos (a / b) = pm {2a} / b ^ 2 sqrt {b ^ 2-a ^ 2} #

Neste problema nós temos # a = 1 e b = 2 # assim

#sin 2 arccos (1/2) = pm 1/2 sqrt {3} quad sqrt #

O valor principal é positivo.