Responda:
A solução de:
# (x + 3) / (x + 2) cor (vermelho) (-) (x + 4) / (x + 3) = (x + 5) / (x + 4) - (x + 6) / (x + 5) #
é
Explicação:
Suponha que a pergunta deveria ser:
# (x + 3) / (x + 2) cor (vermelho) (-) (x + 4) / (x + 3) = (x + 5) / (x + 4) - (x + 6) / (x + 5) #
Fazendo denominadores comuns no lado esquerdo e no lado direito, isso se torna:
# ((x + 3) (x + 3) - (x + 2) (x + 4)) / ((x + 2) (x + 3)) = ((x + 5) (x + 5) - (x + 4) (x + 6)) / ((x + 4) (x + 5)) #
Multiplicando os numeradores, obtemos:
# ((x ^ 2 + 6x + 9) - (x ^ 2 + 6x + 8)) / ((x + 2) (x + 3)) = ((x ^ 2 + 10x + 25) - (x ^ 2 + 10x + 24)) / ((x + 4) (x + 5)) #
A maioria dos termos no numerador é cancelada, para nos dar:
# 1 / ((x + 2) (x + 3)) = 1 / ((x + 4) (x + 5)) #
Tomando o recíproco de ambos os lados, isso se torna:
# (x + 2) (x + 3) = (x + 4) (x + 5) #
que se multiplica como:
# x ^ 2 + 5x + 6 = x ^ 2 + 9x + 20 #
Subtraindo
# -14 = 4x #
Dividindo ambos os lados por
#x = -7 / 2 #
Responda:
Na forma dada, isso resolve um quartic típico com raízes aproximadas:
# x_1 ~~ -9.4400 #
# x_2 ~~ -0.28158 #
# x_3 ~~ -2.6392 + 4.5893i #
# x_4 ~~ -2.6392-4.5893i #
Explicação:
Supondo que a pergunta esteja correta como dada …
Dado:
# (x + 3) / (x + 2) + (x + 4) / (x + 3) = (x + 5) / (x + 4) - (x + 6) / (x + 5) #
Subtrair o lado direito da esquerda para obter:
# (x + 3) / (x + 2) + (x + 4) / (x + 3) - (x + 5) / (x + 4) + (x + 6) / (x + 5) = 0 #
Transpondo e multiplicando ambos os lados por
# 0 = (x + 3) ^ 2 (x + 4) (x + 5) + (x + 2) (x + 4) ^ 2 (x + 5) - (x + 2) (x + 3) (x + 5) ^ 2 + (x + 2) (x + 3) (x + 4) (x + 6) #
#color (branco) (0) = (x ^ 4 + 15x ^ 3 + 83x ^ 2 + 201x + 180) + (x ^ 4 + 15x ^ 3 + 82x ^ 2 + 192x + 160) - (x ^ 4 + 15x ^ 3 + 81x ^ 2 + 185 + 150) + (x ^ 4 + 15x ^ 3 + 80x ^ 2 + 180x + 144) #
#color (branco) (0) = 2x ^ 4 + 30x ^ 3 + 164x ^ 2 + 573x + 149 #
Este é um quartic típico, com dois zeros irracionais reais e dois zeros complexos não reais.
É possível, mas muito confuso resolver algebricamente. Usando um método numérico como o Durand-Kerner, encontramos soluções aproximadas:
# x_1 ~~ -9.4400 #
# x_2 ~~ -0.28158 #
# x_3 ~~ -2.6392 + 4.5893i #
# x_4 ~~ -2.6392-4.5893i #
Veja http://socratic.org/s/aKtpkf7J para mais detalhes.