Resolva para x em RR a equação sqrt (x + 3-4sqrt (x-1)) + sqrt (x + 8-6sqrt (x-1)) = 1?

Responda:

# x em 5, 10 #

Explicação:

Deixei # u = x-1 #. Podemos então reescrever o lado esquerdo da equação como

#sqrt (u + 4-4sqrt (u)) + sqrt (u + 9-6sqrt (u)) #

# = sqrt ((sqrt (u) -2) ^ 2) + sqrt ((sqrt (u) -3) ^ 2) #

# = | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | #

Observe a presença de #sqrt (u) # na equação e que estamos apenas procurando por valores reais, então temos a restrição #u> = 0 #. Com isso, vamos agora considerar todos os casos restantes:

Caso 1: # 0 <= u <= 4 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => 2-sqrt (u) + 3-sqrt (2) = 1 #

# => -2sqrt (u) = -4 #

# => sqrt (u) = 2 #

# => u = 4 #

portanto # u = 4 # é a única solução no intervalo #0, 4#

Caso 2: # 4 <= u <= 9 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) -2 + 3 - sqrt (u) = 1 #

#=> 1=1#

Como isso é uma tautologia, todo valor em #4, 9# é uma solução.

Caso 3: #u> = 9 #

# | sqrt (u) -2 | + | sqrt (u) -3 | = 1 #

# => sqrt (u) - 2 + sqrt (u) - 3 = 1 #

# => 2sqrt (u) = 6 #

# => sqrt (u) = 3 #

# => u = 9 #

portanto #u = 9 # é a única solução no intervalo # 9, oo #

Tomados em conjunto, temos #4, 9# como a solução definida para valores reais de #você#. Substituindo em #x = u + 1 #, chegamos ao conjunto final de soluções # x em 5, 10 #

Olhando para o gráfico do lado esquerdo, isso corresponde ao que seria de esperar: