Qual é o resto de p 12 ^ (p-1), quando p é primo?

Responda:

O restante é igual a #0# quando # p # é também #2# ou #3#e é igual a #1# para todos os outros números primos.

Explicação:

Em primeiro lugar, este problema pode ser reafirmado como tendo que encontrar o valor de # 12 ^ (p-1) mod p # Onde # p # é um número primo.

Para resolver este problema, você precisa conhecer o Teorema de Euler. O teorema de Euler afirma que #a ^ { varphi (n)} - = 1 mod n # para quaisquer inteiros #uma# e # n # coprime (eles não compartilham nenhum fator). Você pode estar se perguntando o que # varphi (n) # é. Esta é na verdade uma função conhecida como função totient. É definido para ser igual ao número de inteiros # <n n # de tal forma que esses inteiros são coprime para # n #. Tenha em mente que o número #1# é considerado coprime para todos os inteiros.

Agora que conhecemos o Teorema de Euler, podemos resolver esse problema.

Note que todos os primos que não sejam #2# e #3# coprime com #12#. Vamos colocar de lado 2 e 3 para mais tarde e focar no resto dos primos. Como esses outros primos são coprimos para 12, podemos aplicar o Teorema de Euler a eles:

# 12 ^ { varphi (p)} - = 1 mod. P #

Desde a # p # é um número primo, # varphi (p) = p-1 #. Isso faz sentido porque cada número menor que um número primo será coprime com ele.

Portanto, agora temos # 12 ^ {p-1} - = 1 mod p #

A expressão acima pode ser traduzida para # 12 ^ {p-1} # dividido por # p # tem um resto de #1#.

Agora só precisamos explicar #2# e #3#que, como você disse anteriormente, ambos tinham restos de #0#.

Portanto, juntos nós provamos que # 12 ^ {p-1} # dividido por # p # Onde # p # é um número primo tem um resto de #0# quando p é #2# ou #3# e tem um resto de #1# de outra forma.