Seja G o grupo cíclico e G = 48. Como você encontra todo o subgrupo de G?

Responda:

Os subgrupos são todos cíclicos, com ordens dividindo #48#

Explicação:

Todos os subgrupos de um grupo cíclico são eles próprios cíclicos, com ordens que são divisores da ordem do grupo.

Para ver porque, suponha # G = <a> # é cíclico com ordem # N # e #H sube G # é um subgrupo.

E se # a ^ m em H # e # a ^ n em H #então é assim # a ^ (pm + qn) # para quaisquer inteiros #p, q #.

assim # a ^ k em H # Onde #k = GCF (m, n) # e ambos # a ^ m # e # a ^ n # estão dentro # <a ^ k> #.

Em particular, se # a ^ k em H # com #GCF (k, N) = 1 # então #H = <a> = G #.

Também não que se #mn = N # então # <a ^ m> # é um subgrupo de # G # com pedido # n #.

Podemos deduzir:

• # H # não tem mais do que #1# gerador.
• A ordem de # H # é um fator de # N #.

No nosso exemplo #N = 48 # e os subgrupos são isomórficos para:

# C_1 #, # C_2 #, # C_3 #, # C_4 #, # C_6 #, # C_8 #, # C_12 #, # C_16 #, # C_24 #, # C_48 #

ser:

#< >#, # <a ^ 24> #, # <a ^ 16> #, # <a ^ 12> #, # <a ^ 8> #, # <a ^ 6> #, # <a ^ 4> #, # <a ^ 3> #, # <a ^ 2> #, # <a> #