Responda:
Dica 1: Suponha que ele equação # x ^ 2 + x-u = 0 # com #você# um inteiro tem solução inteira # n #. Mostre isso #você# é par.
Explicação:
E se # n # é uma solução que existe um inteiro # m # de tal modo que
# x ^ 2 + x-u = (x-n) (x + m) #
Onde #nm = u # e # m-n = 1 #
Mas a segunda equação implica que #m = n + 1 #
Agora, ambos # m # e # n # são inteiros, então um dos # n #, # n + 1 # é par e #nm = u # é par.
Proposição
E se #você# é um inteiro ímpar, então a equação # x ^ 2 + x - u = 0 # não tem solução que seja um inteiro.
Prova
Suponha que exista uma solução inteira # m # da equação:
# x ^ 2 + x - u = 0 #
Onde #você# é um inteiro ímpar. Devemos examinar os dois casos possíveis:
# m # é estranho; ou
# m # é par.
Primeiro, vamos considerar o caso em que # m # é ímpar, então existe um inteiro #k # de tal modo que:
# m = 2k + 1 #
Agora, desde # m # é uma raiz da nossa equação, deve ser que:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k + 1) ^ 2 + (2k + 1) - u = 0 #
#:. (4k ^ 2 + 4k + 1) + (2k + 1) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 6k + 2 - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 6k + 2 #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) #
E nós temos uma contradição, como # 2 (2k ^ 2 + 3k + 1) # é par, mas #você# é estranho.
Em seguida, vamos considerar o caso onde # m # é par, então existe um inteiro #k # de tal modo que:
# m = 2k #
Da mesma forma, desde # m # é uma raiz da nossa equação, deve ser que:
# m ^ 2 + m - u = 0 #
#:. (2k) ^ 2 + (2k) - u = 0 #
#:. 4k ^ 2 + 2k - u = 0 #
#:. u = 4k ^ 2 + 2k #
#:. u = 2 (2k ^ 2 + k) #
E, novamente, temos uma contradição, como # 2 (2k ^ 2 + k) # é par, mas #você# é estranho.
Então, nós provamos que não há solução inteira da equação # x ^ 2 + x - u = 0 # Onde #você# é um inteiro ímpar.
Por isso a proposição é provada. QED
Responda:
Ver abaixo.
Explicação:
E se # x ^ 2 + x-u = 0 # então
#x (x + 1) = u # então se # x # é um inteiro #x (x + 1) # é mesmo, sendo uma contradição porque #você# por hipótese é estranho.
