Qual é a equação da parábola com um foco em (3,6) e uma diretriz de y = 8?

Responda:

#y = (- 1/4) x ^ 2 + (6/4) x + (19/4) #

Explicação:

Se o foco de uma parábola é (3,6) e a diretriz é y = 8, encontre a equação da parábola.

Seja (x0, y0) qualquer ponto da parábola. Primeiro de tudo, encontrar a distância entre (x0, y0) e o foco. Então encontrar a distância entre (x0, y0) e diretriz. A equação dessas duas equações de distância e a equação simplificada em x0 e y0 é a equação da parábola.

A distância entre (x0, y0) e (3,6) é

#sqrt ((x0-2) ^ 2 + (y0-5) ^ 2 #

A distância entre (x0, y0) e a diretriz, y = 8 é | y0- 8 |.

Igualando as duas expressões de distância e quadrada em ambos os lados.

#sqrt ((x0-3) ^ 2 + (y0-6) ^ 2 # = | y0- 8 |.

# (x0-3) ^ 2 + (y0-6) ^ 2 # =# (y0-8) ^ 2 #

Simplificando e trazendo todos os termos para um lado:

# x0 ^ 2-6x0 + 4y0-19 = 0 #

Escreva a equação com y0 de um lado:

# y0 = (- 1/4) x0 ^ 2 + (6/4) x0 + (19/4) #

Esta equação em (x0, y0) é verdadeira para todos os outros valores da parábola e, portanto, podemos reescrever com (x, y).

Então, a equação da parábola com foco (3,6) e diretriz é y = 8 é

#y = (- 1/4) x ^ 2 + (6/4) x + (19/4) #