Prove que se n é ímpar, então n = 4k + 1 para algum k em ZZ ou n = 4k + 3 para algum k em ZZ?

Aqui está um esquema básico:

Proposição: E se # n # é estranho, então # n = 4k + 1 # para alguns #k em ZZ # ou # n = 4k + 3 # para alguns #k em ZZ #.

Prova: Deixei #n em ZZ # Onde # n # é estranho. Dividir # n # por 4.

Então, por algoritmo de divisão, # R = 0,1,2, # ou #3# (restante).

Caso 1: R = 0 Se o restante for #0#, então # n = 4k = 2 (2k) #.

#:. n # é ainda

Caso 2: R = 1 Se o restante for #1#, então # n = 4k + 1 #.

#:. n # é estranho.

Caso 3: R = 2 Se o restante for #2#, então # n = 4k + 2 = 2 (2k + 1) #.

#:. n # é par.

Caso 4: R = 3 Se o restante for #3#, então # n = 4k + 3 #.

#:. n # é estranho.

#:. n = 4k + 1 ou n = 4k + 3 # E se # n # é estranho